Hydrostatyka rzucanie kulką w wodę

[Niepokonana]

Witam
Z góry przepraszam, jeśli nie ten dział. Proszę o pomoc.
Z wysokości \(\displaystyle{ h=1,6m}\) upuszczono kulkę \(\displaystyle{ r=0,02m}\) \(\displaystyle{ \varphi =600 \frac{kg}{m^{3}} }\). W wodzie średnia siła oporów wynosi \(\displaystyle{ 1,5*10^{-3}N}\). Skończyło się to tak, że kulka wpadła do wody i się zanurzyła, a potem zaczęła wypływać.
a) Z jaką szybkością kulka uderzyła w wodę?
b) Jakie opóźnienie miała w wodzie? Zakładamy, że był to ruch jednostajnie opóźniony.
c) Czas ruchu w wodzie do chwili zatrzymania. Domyślam się, że do chwili, w której prędkość wynosiła zero, a nie kiedy wypłynęła z powrotem na powierzchnię.
d) Głębokość, na którą zanurzyła się w wodzie.

Ad. a)
Myślę, że jest to po prostu spadek swobodny z pominięciem oporów powietrza, ale mogę się mylić.
Mam wątpliwości jak policzyć opóźnienie kulki. Myślałam, żeby wziąć siły oporu, wyporu i ciężkości. Myślę, że trzeba od sumy sił oporu i wyporu odjąć siłę ciężkości następnie to wszystko podzielić przez masę i nam wyjdzie opóźnienie. Dobrze myślę? A potem to już tylko czas i droga w ruchu jednostajnie opóźnionym.

EDIT: Nie wiedziałam, jak zapisać ro, więc zapisałam varphi.

[janusz47]

a)


Masz rację.

Kulka spada z wysokości \(\displaystyle{ h }\) ruchem jednostajnie przyśpieszonym o prędkości początkowej \(\displaystyle{ v_{0} = 0 }\) z przyspieszeniem \(\displaystyle{ a = g,}\)


\(\displaystyle{ h =...}\)

stąd

\(\displaystyle{ t = ...}\)

\(\displaystyle{ v = g\cdot t }\)

\(\displaystyle{ v = ...}\)

Dodano po 15 minutach 42 sekundach:
a)

albo z zasady zachowania energii mechanicznej

\(\displaystyle{ E_{pk} - E_{pp} = E_{kk} - E_{kp} }\)

[Niepokonana]

Nie pamiętam, jak to przekształcić, ale w punkcie a) \(\displaystyle{ V= \sqrt{2gh} }\) A dobra, już pamiętam jak ze wzoru na czas zrobić wzór na prędkość.
A jak jest z pozostałymi podpunktami?

[janusz47]

b)
W wodzie na kulkę działają: siła ciężkości \(\displaystyle{ \vec{F}_{c}}\), siła wyporu \(\displaystyle{ \vec{F}_{w} }\) i siła oporu wody \(\displaystyle{ \vec{F}_{op}. }\)

Równanie skalarne wynikające z II zasady dynamiki Newtona:

\(\displaystyle{ m\cdot a_{1} = F_{w} - F_{c} - F_{op} \ \ (1) }\)

Proszę o rozpisanie równania \(\displaystyle{ (1) }\)

[Niepokonana]

Hm, ale skoro ta kulka się zanurza, to siła oporu nie powinna być skierowana do góry a nie do dołu? Nie znam się.

[janusz47]

To zależy od przyjętego zwrotu osi pionowej \(\displaystyle{ Oy }\)

Jeśli przyjmiemy zwrot zgodny z ruchem kulki (do dołu), to równanie wynikające z II zasady dynamiki ma postać:


\(\displaystyle{ m\cdot a_{1} = F_{c} - F_{w} - F_{op} \ \ (*) }\)

Dodano po 9 minutach 50 sekundach:
Masa kulki

\(\displaystyle{ m = \rho \cdot V}\)

Siła ciężkości

\(\displaystyle{ F_{c} = m\cdot g = \rho \cdot V \cdot g }\)

Siła wyporu

\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{w}\cdot V \cdot g }\)

Siła oporu

\(\displaystyle{ F_{op}. }\)

Podstawiamy wartości sił do równania \(\displaystyle{ (*) }\)

\(\displaystyle{ \rho \cdot V \cdot a_{1} = \rho \cdot V \cdot g - \rho_{w}\cdot V \cdot g - F_{op} \ \ (**) }\)

Dzielimy obie strony równania przez \(\displaystyle{ V }\) - objętość kulki

\(\displaystyle{ \rho \cdot a_{1} = \rho\cdot g - \rho_{w}\cdot g - \frac{F_{op}}{V} }\)

[Niepokonana]

Ale ja myślałam, że skoro kulka idzie w stronę przeciwną do siły wyporu, to siła oporu ma ten sam zwrot co siła wyporu. No bo siła oporu spowalnia kulkę, a z Pańskiego równania wynika, że pośpiesza. Ja już nie rozumiem, o co chodzi.

[janusz47]

Z treści zadania wynika, że wartość siły oporu wody \(\displaystyle{ F_{op} << F_{c} }\) i \(\displaystyle{ F_{op}<< F_{w} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{F_{op}}{V} \approx 0, }\)


\(\displaystyle{ \rho\cdot a_{1} = g \cdot \rho - g\cdot \rho_{w} }\)

Dzielimy obie strony równania przez gęstość kulki \(\displaystyle{ \rho }\) i wyłączamy \(\displaystyle{ g }\) przed nawias

\(\displaystyle{ a_{1} = g\left ( 1 - \frac{\rho_{w}}{\rho_{k}} \right). }\)

Dodano po 1 minucie 37 sekundach:
Dobrze Pani myśli jest przeciwnie skierowana więc spowalnia.

[Niepokonana]

Ale nie rozumiem, po co je Pan porównuje? Moja pani, jak to zadała, kazała nam uwzględnić siłę oporu.
A moim sposobem się nie da? Że jak w ruchu jednostajnie opóźnionym?

[janusz47]

Skoro Pani kazała uwzględnić siłę oporu wody, która jest dużo mniejsza od ciężaru kulki i siły wyporu, to

\(\displaystyle{ \rho \cdot a_{1} = \rho\cdot g - \rho_{w}\cdot g - \frac{F_{op}}{V} |: \rho}\)

\(\displaystyle{ a_{1} = g \left( 1 - \frac{\rho_{w}}{\rho} \right) - \frac{F_{op}}{ \rho \cdot V} \ \ (***) }\)

\(\displaystyle{ V = \frac{4}{3}\pi r^3 =\frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3 = \frac{4}{24}\pi d^3 = \frac{1}{6}\pi d^3}\) - objętość kulki,

bo nie mamy w treści zadania \(\displaystyle{ \rho \cdot V = m }\) - masy kulki.

[Niepokonana]

Ja się pytałam na razie, czy dobrze myślę, ale dobra.

Ale czemu jest \(\displaystyle{ \frac{F_{op}}{V}}\)? Skąd się to wzięło? Dlaczego nie po prostu \(\displaystyle{ F_{op}}\)

[janusz47]

Proszę podstawić do równania \(\displaystyle{ (***) }\) dane liczbowe .

Obliczyliśmy wartość opóżnienia \(\displaystyle{ a_{1} }\) jakiego doznaje kulka podczas ruchu w wodzie.

Dodano po 2 minutach 48 sekundach:
Przez podzielenie obustronne równania \(\displaystyle{ (**) }\) przez objętość kulki \(\displaystyle{ V }\) - cztery posty wyżej.

Dodano po 14 minutach 27 sekundach:
c)

Ruch kulki w wodzie jest ruchem jednostajnie opóźnionym z opóźnieniem \(\displaystyle{ a_{1} = ...}\) (obliczenia w podpunkcie \(\displaystyle{ b)}\))

\(\displaystyle{ v_{k} = v - a_{1}t }\)

\(\displaystyle{ v_{k} = 0 }\)

\(\displaystyle{ 0 = v - a_{1} t }\)

\(\displaystyle{ v }\) - wartość prędkości początkowej kulki obliczonej w podpunkcie \(\displaystyle{ a). }\)

\(\displaystyle{ t = \frac{v}{a_{1}} }\) - czas ruchu kulki w wodzie.

[Niepokonana]

A dobra rozumiem, ale sprawdzę to sama.

[janusz47]

d)

\(\displaystyle{ s }\) - głębokość, na którą kulka zanurzy się w wodzie

\(\displaystyle{ s = v \cdot t - \frac{1}{2} a_{1}t^2 }\)

Proszę o własne przemyślenia, dotyczące obliczeń w podpunktach \(\displaystyle{ a), b), c), d)}\) wartości odpowiednio \(\displaystyle{ v, \ \ a_{1}, \ \ t, \ \ s }\). Podstawić dane liczbowe i sprawdzić zgodność otrzymanych jednostek.

[Niepokonana]

Przecież ja napisałam moje własne przemyślenia w pierwszym poście.