Prawo stygnięcia Newtona - wzór na stałą k

[StudentIB]

Witam,

ostatnio była tu dyskusja m.in. o prawie stygnięcia Newtona. Wspominałem tam, że jego dużą wadą jest to, że trzeba znać wartość temperatury w wybranej chwili (innej niż \(\displaystyle{ t_{0}}\)) żeby móc policzyć temperaturę dla innego (późniejszego) czasu. Trafiłem jednak na ten kalkulator internetowy:

Kod: Zaznacz cały

https://www.omnicalculator.com/physics/newtons-law-of-cooling

Jest tam podany znany wzór na prawo stygnięcia:

\(\displaystyle{ T(t)=T_{zew}+(T_{0}-T_{zew}) \cdot e^{-k \cdot t} \tag*{}}\)

Co jednak ciekawe można tam też znaleźć wzór na przybliżoną wartość stałej \(\displaystyle{ k}\):

\(\displaystyle{ k= \frac{h \cdot A}{C} \tag*{}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ h}\) - współczynnik przenikania ciepła, \(\displaystyle{ A}\) - powierzchnia wymiany ciepła, \(\displaystyle{ C}\) - pojemność cieplna.

Jeśli to prawidłowy wzór, można by prawo stygnięcia Newtona stosować bez potrzeby pomiaru czy też znajomości temperatury w wybranej chwili czasu. Oczywiście wyniki nie będą tak dokładne, ale to zwykle nie problem.

Czy ktoś z forumowiczów wie skąd się wziął ten wzór (jakie jest jego wyprowadzenie/uzasadnienie) i w jakich źródłach (najlepiej książkowych) można go znaleźć ?

[kruszewski]

Pisze Kolega, że:
"Jeśli to prawidłowy wzór, można by prawo stygnięcia Newtona stosować bez potrzeby pomiaru czy też znajomości temperatury w wybranej chwili czasu. Oczywiście wyniki nie będą tak dokładne, ale to zwykle nie problem."
Bez znajomości warunków początkowych od których "zaczyna się proces" trudno odpowiedziać na pytanie o jego stan po upływie czasu w którym proces zaszedł.
To tak jakby szukać odpowiedzi na pytanie o poziom wody w zbiorniku po kwadransie nalewania jej z konewki wiedząc tylko to, że konewka jest duża.

Wyprowadzenie wzoru można znaleźć tu:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo_stygni%C4%99cia

[StudentIB]

Miałem na myśli tą "dodatkową" wartość temperatury, którą należy zmierzyć dla czasu różnego od zera. Warunki początkowe, czyli temperaturę dla \(\displaystyle{ t=0}\) oczywiście i tak należy znać.

Na wikipedii jest wyprowadzenie, ale tego głównego wzoru na prawo stygnięcia. Ja natomiast szukam źródła wzoru na przybliżoną wartość stałej \(\displaystyle{ k}\):

\(\displaystyle{ k=\frac{h \cdot A}{C} \tag*{}}\)

[kruszewski]

Myślę, że Sir Isaac Newton wydedukował z "myślowych doświadczeń" tę wprost proporcjanalą zależność.

[StudentIB]

Ta zależność rzeczywiście jest prosta, ale ja przede wszystkim potrzebuję potwierdzenia, że jest w ogóle prawdziwa. Do tej pory znalazłem ją tylko na tej jednej stronie internetowej. W innych źródłach dotyczących prawa stygnięcia jest opisany wspomniany już tradycyjny sposób wyznaczania stałej \(\displaystyle{ k}\) (na podstawie wyniku pomiaru). Potrzebne mi są bardziej wiarygodne źródła.

[kruszewski]

Za Wikipedią (link jak wyżej podałem):
" k - stała dla danego układu (zależna m.in. od fizycznej wielkości układu, jego pojemności cieplnej i jego wewnętrznej struktury, przenikalności cieplnej ścianek układu, rodzaju otoczenia)."
Czyli dla konkretnego układu fikzycznego ma konkretną wartość liczbową a prawo stygnięcia Newtona dla każdego "jest liniowe".
Najbardziej wiarygodne źródło już od lat nie żyje, ale tę "liniowość" można bez problemów wydedukować z analizy doświadczeń i myślę, że łatwiej niż prawo powszechnego ciążenia. Stąd najpewniej nie jest `objaśniane od tej strony w podręcznikach do nauki o cieple.

[korki_fizyka]

Prawo ostygania w podanej przez Was postaci jest słuszne tylko przy niewielkiej różnicy temperatur \(\displaystyle{ \Delta T }\) rzędu \(\displaystyle{ 10-15 \ K}\). Jednak można je kawałkami interpolować.
\(\displaystyle{ \Delta T = \Delta T_o e^{-kt}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \Delta T }\) to obecna (niewielka) różnica temperatur a \(\displaystyle{ \Delta T_o }\) wcześniejsza (początkowa) różnica temp. Szybkość ostygania jest odwrotnie proporcjonalna do pojemności cieplnej ciała \(\displaystyle{ C = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = c_w m}\)
\(\displaystyle{ \frac{d(\Delta T)}{dt} = - \frac{h}{c_wm}\Delta T}\)
zatem \(\displaystyle{ k = \frac{h}{c_wm}}\),
h - stała proporcjonalności zależna od wielkości i rodzaju powierzchni oraz warunków otoczenia.

Jeżeli chcemy wyznaczyć np. ciepło właściwe cieczy, to mierzymy czas ostygania tej cieczy i wody w tych samych warunkach (przy tej samej stałej h). Następnie wykreślamy krzywe eksponencjalne i znajdujemy na nich dwa czasy ostygania przy różnych, też niewielkich różnicach temp. a następnie obliczamy z nich wartość średnią.