Matematyka.pl

Witam, mam taki problem. Mamy próbkę o przekroju kołowym ze stali węglowej która znajduje się w zamkniętej komorze, temperatura wewnątrz komory to \(\displaystyle{ -60\,^\circ C}\). Chodzi mi o czas schładzania się próbki na wskroś.
Czy dobrze myślę korzystając ze wzoru na pzewodność ciepła:
$$k= \frac{Q}{t} \frac{d}{S\Delta T}$$
wyłączam czas \(\displaystyle{ t}\)
I teraz mam dylemat. Ponieważ w wzorze jest grubość przegrody \(\displaystyle{ d}\) której nie ma.
Po przekształceniu
$$t= \frac{Qd}{S\Delta Tk}$$

Czyli gdy; \(\displaystyle{ d=0}\) w każdym przypadku, zawsze będzie \(\displaystyle{ t=0}\)

Tu by raczej trzeba zastosować prawo stygnięcia Newtona. Niestety musiałbyś znać rozwiązanie (temperaturę) dla jakiejś chwili czasu różnej od zera. Ale jak podasz konkretne dane (wymiary próbki i jej temperatura początkowa) to mogę Ci rozwiązać ten problem Metodą Elementów Skończonych (czyli zrobić symulację komputerową).

To równanie opisuje inne zjawisko.
Po za tym problem należy dobrze postawić, czyli określić stany początkowe i spodziewany końcowy. W "czym" zachodzi chłodzenie, objętość, substancja wypełniająca, czy ściany naczynia będą schładzane do stałej temperatury wnętrza \(\displaystyle{ t=- 60 ^o \ C }\) ? itd.

Zakładając, że naczynie jest na tyle duże, iż można pominąć wpływ jego ścianek oraz przyjąć, że temperatura otoczenia pozostaje bez zmian i tylko próbka się chłodzi, jakiego równania należałoby użyć ?

Czyli powiedzmy, że mamy takie zadanie do rozwiązania:

Próbka w kształcie walca o średnicy \(\displaystyle{ D}\) i wysokości \(\displaystyle{ H}\) ma początkową temperaturę \(\displaystyle{ 25^{\circ} C}\). Zostaje nagle umieszczona w dużym zbiorniku (co pozwala potraktować go jako nieskończone otoczenia jak np. powietrze na dworze) zawierającym gaz o temperaturze \(\displaystyle{ - 60^{\circ} C}\). Ile czasu zajmie schłodzenie całej próbki do temperatury \(\displaystyle{ - 60^{\circ} C}\) ?

Rozwiązanie tego problemu MES-em jest proste. Ale jak policzyć to ręcznie ?

Pewnie trzeba by rozwiązać równanie różniczkowe przewodzenia ciepła. Dla kuli nie byłoby to jeszcze takie trudne, ale z walcem może być problem.

W książce "Fundamentals of Heat and Mass Transfer" Incropery opisane jest rozwiązanie podobnego problemu przy pomocy tzw. lumped capacitance method (metoda skupionej pojemności cieplnej). Może to jest dobry trop.

To zadanie jest zadaniem odwrotnym do zadania o narzewaniu wsadu w piecu np hartowniczym.
Ale to już my dywagujemy a nie PT Pytający.
Z ciekawości zaglądnąłem do L. Muller, Teoria podobnieństwa mechanicznego, WNT W-wa 1961 i czytam, że dla nagrzewania płyty o grubości \(\displaystyle{ d}\) , czasu \(\displaystyle{ \tau}\) , temperatury \(\displaystyle{ t}\) , głębokości od powierzchni płyty \(\displaystyle{ x}\) , współczynnika wnikania ciepła z gazów do materiału nagrzewanego \(\displaystyle{ \alpha }\) ( czy jest on taki sam dla "wnikania" ciepła z materiału chłodzonego do zimnego gazu (?) nie wiem) to ruch ciepła można opisać za pomocą równań różniczkowych cząśtkowych:
1) Fouriera - przewodzenia ciepła dla ciał stałych:

\(\displaystyle{ \frac {\partial t}{\partial \tau} = \alpha \frac {\partial ^2 t}{\partial x^2}}\)


2) warunku granicznego przy \(\displaystyle{ x = \pm \frac {d}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac {\partial t} {\partial x} = \frac {\alpha t}{\lambda}}\)

i warunku pczątkowego przy \(\displaystyle{ \tau =0}\), \(\displaystyle{ t=t_o}\)

I to, że "W oparciu otrzecią zasadę teorii podobieństwa znajdujemy, że całka omawianych równań da się przdstawić w bezwymiarowej postaci

\(\displaystyle{ \frac {t}{t_o} = f(F_o, Bi)}\) gdzie \(\displaystyle{ F_o}\) jest liczbą Fouriera, zaś \(\displaystyle{ B_i}\) liczbą Biota.

A ja sprawdziłem metodę skupionej pojemności cieplnej na następującym przykładzie:

- stalowa próbka w kształcie kuli o średnicy \(\displaystyle{ D=6 \ cm}\)
- temperatura początkowa kuli \(\displaystyle{ T_{p}=25^{\circ}C = 298.15 \ K}\)
- temperatura gazu (otoczenia): \(\displaystyle{ T_{o}=-60^{\circ}C=213.15 \ K}\)
- temperatura końcowa (ta, dla której liczymy czas chłodzenia): \(\displaystyle{ T_{k}=-59^{\circ}C=214.15 \ K}\) - dlaczego nie \(\displaystyle{ T_{k}=-60^{\circ}C}\) wyjaśnię za chwilę
- gęstość kulki: \(\displaystyle{ \rho=7700 \ \frac{kg}{m^{3}}}\)
- ciepło właściwe kulki: \(\displaystyle{ c=510 \ \frac{J}{kg \cdot K}}\)
- współczynnik przenikania ciepła: \(\displaystyle{ h=20 \ \frac{W}{m^{2} \cdot K}}\)

Wzór z książki to:

\(\displaystyle{ \displaystyle t=\frac{\rho V c}{hA}\ln{\frac{T_{p}-T_{o}}{T_{k}-T_{o}}} \tag*{}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ V}\) - objętość kuli, \(\displaystyle{ A}\) - pole powierzchni kuli.

Ze wzoru dla tego przykładu wychodzi \(\displaystyle{ t=8723.15 \ s}\). Natomiast MES-em wychodzi \(\displaystyle{ t=8318.4 \ s}\). Jest różnica, ale widać, że metoda z książki daje z grubsza poprawny wynik.

Minus tego sposobu jest taki, że jak widać po wzorze, nie można policzyć czasu, dla którego próbka schłodzi się dokładnie do temperatury otoczenia (bo wtedy pojawi się dzielenie przez zero). Ale wystarczy użyć jakiejś wartości bardzo bliskiej temperaturze otoczenia.

Twierdzi Pan, że "teoretyczny" wynik jest mniej dokładny od "aproksymowanego" MES-em?

MES oczywiście nie daje nigdy dokładnego wyniku, ale i ta metoda może być przybliżona. Nie znam jej podstaw, ale niektóre analityczne sposoby nie dają dokładnych rozwiązań, bo przykładowo pomijają wpływ jakiegoś czynnika.

Umówmy się - temperatury \(-60^\circ\) w modelu matematycznym nie da się osiągnąć w żadnym skończonym czasie

Wtedy tracą przymiotnik teoretyczne na rzecz przybliżonych.

A wynikiem umowy są pola tolerancji i tablice odchyłek.

a4karo pisze: ↑8 wrz 2019, o 20:24 Umówmy się - temperatury \(-60^\circ\) w modelu matematycznym nie da się osiągnąć w żadnym skończonym czasie

Mógłbyś powiedzieć coś więcej na ten temat ? Z czego to wynika ?

Ano np z tego, że jak w Twoim wzorku `T_k=T_0`, to `t=\infty`.

Myślałem, że chodzi o to, że nie da się uzyskać tak niskiej temperatury dla tych warunków zadania. Ale tak, to jest ten mały minus metody z książki, o którym pisałem - nie da się policzyć czasu zrównania się temperatury przedmiotu z temperaturą otoczenia. Wystarczy jednak podstawić do wzoru za \(\displaystyle{ T_{k}}\) temperaturę bardzo bliską \(\displaystyle{ T_{o}}\).

Proszę zauważyć, że im mniejsza jest różnica temperatur tym powolniejszy jest transport ciepła, tym powolniejsze podgrzewanie, ale i chłodzenie oddziaływujących cieplnie na siebie tych dwu mas (próbki i jej otoczenia). Jest to zależność "odwrotna" i stąd asymptotyczne zbliżanie się wyższej temperatury ciała chłodzonego do temperatury ciała ogrzewanego w czasie trwania wzajemnego oddziaływania cieplnego. Praktycznie uważamy, że temperatury wyrównały się jeżeli ich różnica jest nie większa od "czułości" instrumentu je mierzącego.

Dodam jeszcze, że wzór, który podałem można też znaleźć w książce "Rozwiązywanie prostych i odwrotnych zagadnień przewodzenia ciepła" J. Talara i że metoda skupionej pojemności cieplnej nadaje się też do przypadku gdy ciało jest ogrzewane a nie chłodzone (co może jest oczywiste, ale warto to podkreślić). A więc można by ją zastosować np. do uproszczonej analizy gotowania jajka, o której kiedyś tu pisałem (nie znalazłem wtedy odpowiedzi). Szkoda, że nie przyda się w przypadku szacowania czasu stygnięcia herbaty (kolejny praktyczny problem, o którym kiedyś była tu mowa). Tam konieczne jest już prawo stygnięcia Newtona, które wymaga zmierzenia temperatury dla jednej chwili czasu.