Przemiana izotermiczna - zadnie nr 591 ze zbioru Mendla

[sziszimorak]

Treść zadnia:
Rurka szklana długości \(\displaystyle{ l = 0,8 m}\) jest zamknięta słupkiem rtęci \(\displaystyle{ b = 0,2 m}\) sięgającym górnego poziomu rurki. Jeżeli rurkę przekręcić wylotem do dołu, to część rtęci wycieknie. Jakiej długości słupek rtęci zostanie w rurce, jeżeli ciśnienie atmosferyczne wynosi \(\displaystyle{ p = 98,6 kPa}\)? Temperatura gazu nie zmieniła się. Gęstość rtęci \(\displaystyle{ \varrho= 13 600 \frac{kg}{ m^{3} }}\)

Próby rozwiązania i komentarz:

Zadnie z fizyki, ale mam tu problem natury matematycznej. Chodzi o rozwiązanie równania, czyli po prostu wyznaczenia \(\displaystyle{ x}\) - długość słupka rtęci pozostała w rurce. Poniżej ułożone przeze mnie równanie, co do którego fizycznej poprawności jestem pewny:

\(\displaystyle{ \left( p +\varrho gb\right)\left( l-b\right)=\left( p-\varrho gx\right) \left( l-x\right)}\)

A oto wynik, który figuruje w odpowiedziach na końcu zbioru:

\(\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \left[ \frac{p}{\varrho g} + l - \sqrt{\left( \frac{p}{\varrho g} + l \right)^2-4b\left( \frac{p}{\varrho g}+b-l \right) }\right]}\)

W nieoficjalnych rozwiązaniach zadań i w Internecie, autorzy, poszli na łatwiznę podstawiwszy do równania podane w treści dane liczbowe, dzięki czemu uzyskali "niepodręcznikowe, nieeleganckie" równanie kwadratowe, po czym je rozwiązali. Mnie jednak nie zadowala takie przaśne rozwiązanie.

Udało mi się dotrzeć do takiej postaci równania:
\(\displaystyle{ l-\frac{p}{\varrho g}-b= \frac{ x(x-b) }{x+b}}\)

Niestety nie wiem, czy nie popełniłem po drodze błędu, ani nie wiem jak dalej rozwiązać to równanie.
Proszę o pomoc.

[AiDi]

Wymnóż wszystko z pierwszego Twojego równania i pogrupuj to co otrzymasz tak żeby wyglądało to na standardowe równanie kwadratowe. Potem obliczasz wyróżnik, itd. Tak jak się zawsze robiło z równaniami kwadratowymi

[sziszimorak]

Ok. Mam coś takiego:
\(\displaystyle{ -\varrho gb^2-\varrho gbl -pb = \varrho gx^2 - \varrho gxl - px}\)

Proszę wybaczyć, ale zapomniałem (jak widać) elementarnych informacji z matematyki. Co dalej? Wyciągnąć przed nawiasy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ b}\)?

[AiDi]

Grupujemy:
\(\displaystyle{ 0= \varrho gx^2 +(-\varrho gl - p)x +\varrho gb^2+\varrho gbl +pb}\)
i dostajemy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ Ax^2+Bx+C=0}\) gdzie:
\(\displaystyle{ A=\varrho g,\\
B=-\varrho gl - p,\\
C=\varrho gb^2+\varrho gbl +pb.}\)
Dalej liczymy wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta=B^2-4AC}\), sprawdzamy czy jest dodatni (a pewnie jest) i mamy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ x_{1,2}=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}}\).
Wybieramy oczywiście to dodatnie.

[sziszimorak]

Dziękuję AiDi.
Poniżej zamieszam pełne rozwiązanie:

\(\displaystyle{ pl - pb + \varrho gbl- \varrho gl^2 = pl - px - \varrho gxl + \varrho g x^2}\)

\(\displaystyle{ - \varrho g x^2 + px + \varrho gxl - pb + \varrho gbl - \varrho gb^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ - \varrho gx^2 +x(p+ \varrho gl)-b(p+ \varrho gl- \varrho gb)=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = b^2 - 4ac}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{(p+ \varrho gl)^2-4(- \varrho g)b(p+ \varrho gl- \varrho gb)}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{-(p+ \varrho gl)-\sqrt{(p+ \varrho gl)^2-4(- \varrho g)b(p+ \varrho gl- \varrho gb)}}{2(- \varrho g)}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{(p+ \varrho gl)-\sqrt{(p+ \varrho gl)^2+4 \varrho gb(p+ \varrho gl- \varrho gb)}}{2 \varrho g}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1}{2} \left[ \frac{p}{\varrho g} + l - \sqrt{\left( \frac{p}{\varrho g} + l \right)^2-4b\left( \frac{p}{\varrho g}+b-l \right) }\right]}\)

Co jest równoznaczne z odpowiedzią, ale chętni mogą policzyć jeszcze \(\displaystyle{ x_{2}}\), by się zapewne przekonać, że nie spełnia warunku.
KONIEC