Podnośnik pneumatyczny

[lolnaz1]

Witam, mam problem z zadaniem:
Powietrze użyte jest jako czynnik termodynamiczny w podnośniku pneumatycznym. W chwili początkowej powietrze o temperaturze \(\displaystyle{ 27^\circ C}\) zawarte jest w zbiorniku o objętości \(\displaystyle{ 0.3 m^3}\) i jego ciśnienie wynosi \(\displaystyle{ 0.7 MPa}\). Po otwarciu zaworu powietrze przepływa do przestrzeni pod tłokiem. Początkowo (przed otwarciem zaworu) cylinder z tłokiem wypełniony jest powietrzem o ciśnieniu \(\displaystyle{ 0.1 MPa}\), temperaturze \(\displaystyle{ 15^\circ C}\) i objętości \(\displaystyle{ 0.1 m^3}\). Gdy ciśnienie w cylindrze osiągnie \(\displaystyle{ 0.35 MPa}\) tłok rozpoczyna ruch, utrzymując to ciśnienie do momentu osiągnięcia górnej pozycji. Następnie tłok zatrzymuje się, ale powietrze w dalszym ciągu wpływa do cylindra do chwili wyrównania się ciśnień pomiędzy zbiornikiem a cylindrem. W chwili końcowej całe powietrze w wyniku wymiany ciepła z otoczeniem ma temperaturę \(\displaystyle{ 15^\circ C}\). Obliczyć końcowe ciśnienie oraz ilość energii, jaka w formie ciepła zostanie wymieniona z otoczeniem poprzez ścianki układu.

Rozwiązywanie rozpocząłem od wyróżnienia 4 stanów:
1.Początkowy
2.Kiedy ciśnienie pod tłokiem jest równe \(\displaystyle{ 0.35 MPa}\), ale tłok się jeszcze nie poruszył.
3.Kiedy ciśnienie pod tłokiem jest równe \(\displaystyle{ 0.35 MPa}\), a tłok jest w górnej pozycji.
4.Końcowy.

Mam problem z ułożeniem równań stanu z powodu nieznanej mi zmiany temperatury. Wg moich rozważań mam za każdym razem więcej niewiadomych nich działań.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

[Pablo82]

lolnaz1

Niejasnym dla mnie jest, od którego momentu przyjąć należy przemianę izotermiczną. Przyjmę następujący model przemian, żeby uściślić, jak rozumiem treść zadania:
1. W fazie początkowej mamy do czynienia z:
a/. wyrównywaniem się temperatur powietrza w cylindrze gdyż napływające ze zbiornika powietrze jest cieplejsze niż powietrze w cylindrze
b/. wzrostem ciśnienia w cylindrze od wartości \(\displaystyle{ 0,1 MPa}\) do wartości \(\displaystyle{ 0,35 MPa}\) – proces wyrównywania się ciśnień
c/. w tej fazie początkowej założyłbym przemianę adiabatyczną w zbiorniku oraz przemianę adiabatyczną w cylindrze.

Określmy początkową ilość moli powietrza w zbiorniku i cylindrze:
\(\displaystyle{ n_z = p_z \cdot V_z /( T_z \cdot R )}\) i po podstawieniu danych:
\(\displaystyle{ n_z = 84,2 mol}\) ( powietrza w zbiorniku )

\(\displaystyle{ n_c = p_c \cdot V_c /( T_c \cdot R )}\) i po podstawieniu danych:
\(\displaystyle{ n_c = 4,18 mol}\) (powietrza w cylindrze )
Wiemy teraz, że pewna ilość powietrza ze zbiornika przepłynęła do cylindra w taki sposób, że ciśnienie w cylindrze osiągnęło wartość \(\displaystyle{ p_1 = 0,35 MPa}\), a temperatury obu gazów wyrównały się.
Zakładamy, że do cylindra wpłynęło \(\displaystyle{ n_x}\) moli powietrza. Piszemy bilans ciepła oraz przyjmujemy ciepło molowe gazu dwuatomowego, przy stałej objętości \(\displaystyle{ ( C_v = 20,8 J/molK )}\):
\(\displaystyle{ Q = n_x \cdot C_v/( T_{pz} - T_x )}\) ( od strony powietrza ze zbiornika )
\(\displaystyle{ Q = n_c \cdot C_v/( T_x - T_c )}\) ( od strony powietrza w cylindrze )
Oba równania przyrównujemy i dostajemy jedno równanie ( 1 ) z dwiema niewiadomymi\(\displaystyle{ n_x}\) oraz \(\displaystyle{ T_x}\)
Piszemy zatem równanie stanu dla mieszaniny w cylindrze:
( 2 ) \(\displaystyle{ p_m \cdot V_c / T_x = (n_c + n_x ) \cdot R}\)
Mamy teraz dwa równania z dwiema niewiadomymi, więc możemy wyliczyć:
\(\displaystyle{ n_x = 10,2 mol}\)
\(\displaystyle{ T_x = 296,5 K ( 23,5 C )}\)

jako stan powietrza w cylindrze

Wróćmy teraz do powietrza w zbiorniku:
Na początku było go \(\displaystyle{ 84,2 moli}\) a teraz jest o \(\displaystyle{ 10,2 mola}\) mniej czyli jest go\(\displaystyle{ n_1 = 74 mole}\). Stan gazu w zbiorniku zmienił się z powodu adiabatycznego rozprężania się gazu w zbiorniku ( nie było wymiany ciepła z otoczeniem );
( stan przed ):\(\displaystyle{ p_1 \cdot V_1 /( R \cdot T_{zp} ) = n_{zp}}\) ( czyli: \(\displaystyle{ 700000 \cdot 0,3 / 8,314 \cdot 300 = 84,2 [mol ]}\)
( stan po ): \(\displaystyle{ p_2 \cdot V_1 / (R \cdot T_{zk} ) = n_{zk}}\)
Z tego otrzymamy zależność:
( 3 ) \(\displaystyle{ P_2 /T_2 = 282,7}\)
Drugie z powyższych równań zawiera dwie niewiadome: \(\displaystyle{ p_2}\) oraz \(\displaystyle{ T_{zk}}\). Jednocześnie związek ( w przemianie adiabatycznej ) pomiędzy ciśnieniem a temperaturą jest następujący:
( 4 ) \(\displaystyle{ T_2/T_1 = (p_2/p_1)^{0,2857}}\) gdzie \(\displaystyle{ 0,2857 = ( \kappa -1 ) / \kappa}\)
Rozwiązując te dwie zależności ( określone w 3 i 4 ) otrzymamy:
\(\displaystyle{ T_2 = 285 K}\)
\(\displaystyle{ p_2 = 0,584 MPa}\)
Jako wielkości do dalszych obliczeń.

Dygresja: otrzymałem \(\displaystyle{ T_2}\) w dość zaskakującej wielkości ( sprawdź wyliczenia ). Mieści się ten wynik w zakresie warunków zadania, ale oznacza, że temperatura powietrza w zbiorniku ( po pierwszym etapie ) wyszła poniżej \(\displaystyle{ 15 oC}\) co oznaczałoby dalsze jego nagrzewania się, a nie chłodzenie – przyjmując, że końcowa temperatura procesu wynosić ma \(\displaystyle{ 15 oC}\). Z punktu widzenia termodynamiki – nic tu dziwnego. Z punktu widzenia „zwykłego” zadania – jest to „podpucha”.

2. W drugiej części zadania, kiedy tłok podnosi się przy stałym ciśnieniu równym \(\displaystyle{ 0,35 MPa}\), przemiana w zbiorniku będzie adiabatyczna, a w tłoku izobaryczna. Bilanse ciepła i równania będą analogiczne jak w pkt. 1, ale molowe ciepło właściwe powietrza przyjąć należy jako \(\displaystyle{ C_p = 29,1 J/molK}\) ( \(\displaystyle{ C_p - C_v = R}\) )
3. W trzeciej części zadania przyjąć należy proces powolnego wyrównywania się temperatur tak w zbiorniku jak i w tłoku. Czyli bilans ciepła dla określonej ilości moli gazu w zbiorniku będącego w określonej temperaturze, oraz bilans ciepła dla określonej ilości moli powietrza w tłoku będącego w określonej temperaturze ( na pewno innej niż w zbiorniku ).

W pkt. 1 szczegółowo wyjaśniłem Ci, jak obliczyć tę niewiadomą końcową temperaturę procesu. W pkt.2 i 3 będzie zupełnie analogicznie. Spróbuj to zrobić dalej, a jak nie dasz rady to napisz – będziemy to „rzeźbić” dalej. Obliczenie ciśnienia końcowego opisanego procesu jest tak trywialne ( znana jest końcowa temperatura ), że – mam nadzieję – poświęcisz temu nie więcej niż jedną-dwie linijki.

[lolnaz1]

Czy mógłbyś mi wytłumaczyć coś z fazy początkowej :
1a.Nie rozumiem do końca, czym jest "bilans ciepła". Wygląda to na IZT, z małą literówką we wzorze, powinno chyba być \(\displaystyle{ Q=C_{v}n \Delta T}\).
1b.Rozumiem, że to \(\displaystyle{ Q}\) nie jest żadnym ciepłem wymienionym z otoczeniem, tylko ogólną energią która przepłynęła z jednego zbiornika do drugiego, a zbieżność literek jest przypadkowa.
2.Dlaczego zakładasz przemiany adiabatyczne, a nie izochoryczne. Czy tylko po to, aby móc do siebie przyrównać \(\displaystyle{ Q}\) czy są jakieś inne przesłanki?
3.Czy można używać wzoru na przemianę adiabatycznej dla zmiennej liczby moli?
4.Skąd się wzięła zależność (4)?

[Pablo82]

lonaz1
co do 1a: bilans ciepła odnosi się do faktu, że początkowa ilość moli w cylindrze wynosiła \(\displaystyle{ n_c}\) a wprowadzone zostały dodatkowe mole gazu ze zbiornika w ilości \(\displaystyle{ n_x}\) ( której nie znamy ).
Nie widzę różnicy pomiędzy \(\displaystyle{ Q = n_c \cdot C_v \cdot \Delta T}\) a zapisem \(\displaystyle{ Q = C_v \cdot n_c \cdot \Delta T}\)

co do 1b: Tak, \(\displaystyle{ Q}\) oznacza przepływ ciepła od powietrza które dopłynęło do cylindra, do powietrza będącego już w cylindrze. Nie ma tu mowy o wymianie ciepła z otoczeniem.

co do 2, które wiąże się z Twoim pytaniem 4:
zależność pomiędzy ciśnieniem a temperaturą w przemianie izochorycznej jest:

\(\displaystyle{ T_2/T_1 = p_2/p_1}\)

a w adiabatycznej tak jak napisałem ( jest to podstawowa zależność temperatury i ciśnienia dla adiabaty ).
Zależność dla adiabaty daje bardziej skomplikowaną wyliczanką, a nie chciałem iść na łatwiznę. Tak czy inaczej, proces napełniania się cylindra oraz opróżniania się zbiornika widzę jako adiabatyczny - gdyż w technice procesy te przebiegają względnie szybko, ale nie upieram się. Przelicz to jako izochoryczny.

co do 3:

Można. Generalnie termodynamika rozważa stany stacjonarne i niestacjonarne.
W naszym zadaniu, co tyczy się zbiornika, mamy odpływ pewnej ilości moli powietrza co samo już skutkuje zmianą stanu gazu "przed" i "po". Oczywiście tu także możemy iść na "lekkość w wyliczance" i traktować też tę przemianę jako izochoryczną - do czego jednak nie mam przekonania.

Wyliczyć można wszystko: obojętnie czy założymy przemianę adiabatyczną czy izochoryczną, to kwestia jak autor wyobrażał sobie rozwiązanie treści.

[danielbr3]

Mam jedno pytanie do tego zadania. Skoro przy \(\displaystyle{ 0.35MPa}\) zachodzi przemiana izobaryczna i jest wykonywana praca ktora zostaje zakończona przed wyrównaniem ciśnień oraz nie jest podana zmiana objetosci to skąd można wiedzieć kiedy ta przemiana i praca sie zakończy?