Zadanie
Ile energii należy zużyć na to aby \(\displaystyle{ 1 kg }\) o temperaturze \(\displaystyle{ 0^{o}C }\) przekształcić w lód ? Temperatura otoczenia wynosi \(\displaystyle{ 20^{o} }\)
Analiza zadania
Jeśli temperatura otoczenia jest wyższa niż \(\displaystyle{ 0^{o} C }\) to wodę możemy zamrozić tylko za pomocą maszyny chłodniczej. W maszynie chłodniczej wszystkie procesy zachodzą w kierunku przeciwnym niż maszynie cieplnej. Kosztem wykonania pracy mechanicznej pewna ilość ciepła \(\displaystyle{ Q_{2} }\) zostaje pobrana ze zbiornika o niższej temperaturze \(\displaystyle{ T_{2}, }\) przy czym zbiornikowi o temperaturze wyższej \(\displaystyle{ T_{1} }\) zostaje przekazana ilość ciepła równa sumie \(\displaystyle{ Q_{1} = W + Q_{2},}\) gdzie \(\displaystyle{ W }\) jest ilością wykonanej pracy.
Przy wykorzystaniu maszyny chłodniczej do zamrażania wody rolę zbiornika o wyższej temperaturze odgrywa otaczające powietrze, a rolę zbiornika o temperaturze niższej zamarzająca woda. Temperatura wody pozostaje stała, dopóki w całości nie przekształci się w lód, pomimo, że jest od niej odbierane ciepło.
Rozwiązanie
Na to by zamrozić w temperaturze \(\displaystyle{ 0^{o} C }\) masę wody \(\displaystyle{ m }\) należy od niej pobrać ilość ciepła
\(\displaystyle{ Q_{2} = c_{t}\cdot m }\) ciepła, gdzie \(\displaystyle{ c_{t} }\) jest ciepłem topnienia lodu w temperaturze \(\displaystyle{ 0^{o}C. }\)
Sprawność maszyny chłodniczej do zamrażania wody możemy zapisać w postaci równania
\(\displaystyle{ \eta = \frac{W}{W + c_{t}\cdot m} = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ W = m\cdot c_{t}\left( \frac{T_{1}}{T_{2}} -1 \right) \ \ (4) }\)
Na podstawie równania \(\displaystyle{ (4) }\) praca \(\displaystyle{ W, }\) którą należy wykonać aby pobrać od chłodnej wody tę samą ilość ciepła \(\displaystyle{ c_{t}\cdot m }\) jest tym mniejsza im mniej różni się od jedynki iloraz \(\displaystyle{ \frac{T{1}}{T_{2}}. }\) A więc im temperatura otaczającego powietrza jest bliższa \(\displaystyle{ 0^{o} C, }\) tym mniej energii potrzeba do zamrożenia \(\displaystyle{ 1 kg }\) wody.
W temperaturze \(\displaystyle{ 20^{o} }\) po zamianie na skalę Kelwina wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{293}{273} -1 \approx 0,073.}\) Ciepło topnienia lodu \(\displaystyle{ c_{t} }\) w temperaturze \(\displaystyle{ 0^{o} }\) wynosi \(\displaystyle{ 3,34 \cdot 10^5 \frac{J}{kg}. }\)
Stąd do zamrożenia jednego kilograma wody trzeba wykonać pracę
\(\displaystyle{ W = 3,34 \cdot 10^5 \left(\frac{J}{kg}\right) \cdot 1 (kg) \cdot 0,073 \approx 2,4\cdot 10^4 J. }\)
Wnioski
Otrzymany wynik słuszny jest dla odwracalnej maszyny chłodniczej i w konsekwencji określa minimalną ilość energii niezbędnej do zamrożenia wody.
Rzeczywista maszyna chłodnicza pracuje w sposób nieodwracalny i dlatego wymaga większego nakładu energii. Przeprowadzone rozważania oparte są na drugiej zasadzie termodynamiki i nie zależą od tego, jakie konkretne urządzenie wykorzystane jest do zamrażania wody.