paradoks trzech bliźniaków

Szczególna i ogólna teoria względności. Zjawiska relatywistyczne.
slawekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 14 cze 2018, o 08:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 1 raz

paradoks trzech bliźniaków

Post autor: slawekp »

Paradoks trzech bliźniaków

Wszyscy znają paradoks bliźniąt. Jeden bliźniak zostaje na Ziemi, drugiego wsadzamy w rakietę i leci nią na Marsa i z powrotem. Po powrocie okazuje się, że ten który poleciał jest nieco młodszy. Zasada względności ruchu mówi nam, że obydwaj bliźniacy poruszali się względem siebie, jednak brak symetrii tłumaczy się tym, że podróżujący bliźniak doznawał przyspieszenia podczas startu i lądowania a bliźniak na Ziemi nie. Dlatego bliźniak podróżnik jest młodszy.
Wyobraźmy sobie następującą sytuację – w podróż na Marsa wybiera się dwóch z trzech bliźniaków, ten trzeci pozostaje na Ziemi. W połowie drogi na Marsa jeden z dwóch bliźniaków wysiada i zwalnia tak by nie poruszać się względem Ziemi. Drugi leci dalej, dociera do Marsa, zawraca i w drodze powrotnej zabiera swojego bliźniaka oczekującego w kosmosie. Razem lądują na Ziemi i sprawdzają swoje zegarki.
Najstarszy jest oczywiście ten, który pozostał na Ziemi. Ale problem stanowi bliźniak, który poleciał połowę drogi i czekał w kosmosie. Z jednej strony powinien być młodszy od tego, który dotarł na Marsa i wrócił. Doznawał przecież dwukrotnie więcej przyspieszeń, niż „Marsjanin” i względem niego zachował się analogicznie jak młodszy bliźniak z paradoksu dwóch bliźniąt. Z drugiej strony, ponieważ połowę czasu czekał w kosmosie nie poruszając się względem bliźniaka pozostającego na Ziemi, więc jego czas względem „ziemskiego” bliźniaka przez połowę czasu lotu płynął w tym samym tempie, podczas gdy czas bliźniaka , który dotarł na Marsa wciąż płynął wolniej. Więc bliźniak lecący na Marsa do samego końca powinien być od niego młodszy! To sprzeczność. Gdzie jest błąd w rozumowaniu?
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

paradoks trzech bliźniaków

Post autor: AiDi »

slawekp pisze:Więc bliźniak lecący na Marsa do samego końca powinien być od niego młodszy! To sprzeczność. Gdzie jest błąd w rozumowaniu?
No jak dla mnie to błąd jest tu:
slawekp pisze:Ale problem stanowi bliźniak, który poleciał połowę drogi i czekał w kosmosie. Z jednej strony powinien być młodszy od tego, który dotarł na Marsa i wrócił. Doznawał przecież dwukrotnie więcej przyspieszeń
Nie ma znaczenia ile razy doznawał przyspieszeń. Do takich problemów najłatwiej podejść geometrycznie (zabawy z synchronizacjami zegarów i wieloma transformacjami Lorentza są już passe). Narysowałem w bardzo naukowym programie 'Paint' odpowiedni diagram czasoprzestrzenny:
AU
AU
5y9u6h.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 381 razy
Przedstawia on krzywe świata bliźniaków. Do tego wybrałem układ współrzędnych, który jest inercjalny cały czas i związany z bliźniakiem pozostającym na Ziemi. Jak wiadomo z teorii względności, czas wskazywany przez zegary związane z bliźniakami to ich czas własny i dany jest wzorem:
\(\displaystyle{ \tau=\int_\ell\frac{\textsf{d}t}{\gamma(t)}}\),
gdzie \(\displaystyle{ \ell}\) to odpowiednia linia świata. Gdyby dobrać dane liczbowe to dostalibyśmy trzy proste całki do obliczenia, ale można się bez tego obejść. Otóż czas własny związany z daną linią świata jest miarą jej czasoprzestrzennej "długości" i jest tym krótszy im dłuższa w naszym zwykłym, euklidesowym sensie jest narysowana linia świata. Najkrótsza jest linia świata bliźniaka na Ziemi (zielona), więc jego czas własny jest najdłuższy i będzie on najstarszy przy spotkaniu. Linia świata bliźniaka, który się w międzyczasie zatrzymał i stał (czerwona) ma pośrednią długość, więc będzie on młodszy niż ten na Ziemi, ale starszy niż ten co leciał do końca (niebieska). Jego linia świata jest w zwykłym sensie najdłuższa i będzie on najmłodszy.
slawekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 14 cze 2018, o 08:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: paradoks trzech bliźniaków

Post autor: slawekp »

dziekuję. Ale gdyby rozpatrywać TYLKO sytuację dwóch lecących bliźniaków - wtedy ten, który wysiadł jest dokładnie w tej sytuacji tego, który poleciał z pradoksu dwóch bliźniąt - gdy układ jest związany z rakietą, nieprawdaż?-- 12 sty 2019, o 10:00 --aha, rozumiem
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: paradoks trzech bliźniaków

Post autor: AiDi »

O ile dobrze rozumiem o co Tobie chodzi, to tak. Ogólnie to polecam na takie problemy patrzeć w ten sposób. Ja to już dawno temu wyrzuciłem z pamięci wszelkie tradycyjne rozumowania oparte na kilku układach inercjalnych i metodach synchronizacji, bo są one zwykle bardzo pokrętne. Dobrze jest je choć raz w życiu przerobić, to dobre intelektualne ćwiczenie, ale no. Po co sobie dalej życie utrudniać, cieszmy się tym co dał nam Minkowski
slawekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 14 cze 2018, o 08:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: paradoks trzech bliźniaków

Post autor: slawekp »

Jednak nie, sorry;
\(\displaystyle{ T_1}\)-czas bliźnianiak na Ziemi od chwili startu do wysiadki drugiego bliźniaka z rakiety
\(\displaystyle{ T_2}\)- czas bliźniaka, który nie doleciał do MArsa w tym samym okresie
\(\displaystyle{ T_3}\)-czas Marsjanina w tym samym okresie do chwili wysiadki

\(\displaystyle{ T_1'}\) - czas bliżniaka ziemskiego od chwili wysiadki do chwili wsiadki drugiego bliźniaka
\(\displaystyle{ T_2'}\)- czas drugiego bliźniaka gdy czekał w kosmosie
\(\displaystyle{ T_3'}\) - czas samotnego lotu Marsjanina

\(\displaystyle{ T_1"}\)- czas ziemianina od chwili wsiadki do lądowania na Ziemi bliźnaków
\(\displaystyle{ T_2"}\)- czas drugiego bliźniaka podczas powrotu rakiety
\(\displaystyle{ T_3"}\)- czas Marsjanina gdy wracali razem na Ziemię z drugim bliźniakiem

Układ związany z Ziemią
\(\displaystyle{ T_1+T_1'+T_1'' > T_2+T_2'+T_2'' > T_3+T_3'+T_3''}\)

Układ związany z rakietą
\(\displaystyle{ T_3+T_3'+T_3'' > T_2+T_2'+T_2''}\)
Ostatnio zmieniony 12 sty 2019, o 09:18 przez AiDi, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: paradoks trzech bliźniaków

Post autor: AiDi »

"Czas", ale jaki czas? Współrzędnościowy? Jeśli tak to w jakim układzie odniesienia? Mamy tu aż 6 układów inercjalnych. I bliźniak i rakieta doznają przyspieszeń, przez co ich zegary się rozsynchronizowują, co trzeba wziąć pod uwagę. Porównywanie czasów współrzędnościowych jako takich nie ma fizycznego sensu. Jeśli faktycznie chcesz iść tą drogą, to mogę polecić książkę Andrzeja Szymachy "Szczególna teoria względności" - rozdział 9, w którym dyskutuje on paradoks bliźniąt "po staremu" i oblicza odpowiednie poprawki, które wynikają z resynchronizacji zegarów przyspieszającego bliźniaka. Najlepiej jakbyś dodatkowo sobie dobrał odpowiednie dane i obliczył konkretnie czasy własne z całki, którą podałem.

A i używaj proszę LateXa do wszystkich wyrażeń matematycznych, nawet tak prostych jak \(\displaystyle{ T'}\).
slawekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 14 cze 2018, o 08:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: paradoks trzech bliźniaków

Post autor: slawekp »

myslałem o zegarkach naręcznych
problem nie jest prosty, wiem, świat wydaje sie prosty tylko idiotom
niemniej widze tu pewną sprzeczność bo w układzie rakiety bliźniak wysiadający powinien być młodszy od MArsjanina, a w układzie Ziemi starszy od Marsjanina.
w końcu wszyscy razem spotykają się na Ziemi i tu pojawia się jednak pewna zagadka, przynajmniej dla mnie.
U Szymachy miałem saba tróję z mech, kwantowej
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: paradoks trzech bliźniaków

Post autor: AiDi »

slawekp pisze:myslałem o zegarkach naręcznych :-)


Czyli o czasach własnych, a te są obiektywne i niezależne od układu odniesienia. Więc nie możesz pisać nierówności jakie pisałeś, bo czasy własne obliczone w każdym układzie odniesienia będą takie same. I nie ma z tym problemu, łatwo je obliczyć z całki którą podałem.
\(\displaystyle{ \tau_1}\) - czas własny bliźniaka bliźniaka na Ziemi od chwili startu do wysiadki drugiego bliźniaka z rakiety
\(\displaystyle{ \tau_2}\) - czas własny bliźniaka, który nie doleciał do Marsa w tym samym okresie
\(\displaystyle{ \tau_3}\) - czas własny Marsjanina w tym samym okresie do chwili wysiadki

\(\displaystyle{ \tau_1>\tau_2=\tau_3}\)

\(\displaystyle{ \tau_1'}\) - czas własny bliźniaka ziemskiego od chwili wysiadki do chwili wsiadki drugiego bliźniaka
\(\displaystyle{ \tau_2'}\) - czas własny drugiego bliźniaka gdy czekał w kosmosie
\(\displaystyle{ \tau_3'}\) - czas własny samotnego lotu Marsjanina

\(\displaystyle{ \tau_1'=\tau_2'>\tau_3'}\)

\(\displaystyle{ \tau_1''}\) - czas własny Ziemianina od chwili wsiadki do lądowania na Ziemi bliźniaków
\(\displaystyle{ \tau_2''}\) - czas własny drugiego bliźniaka podczas powrotu rakiety
\(\displaystyle{ \tau_3''}\) - czas własny Marsjanina gdy wracali razem na Ziemię z drugim bliźniakiem

\(\displaystyle{ \tau_1''>\tau_2''=\tau_3''}\)
problem nie jest prosty, wiem, świat wydaje sie prosty tylko idiotom :-)
Jak się podejdzie do tego geometrycznie to jest prosty, jak tak jak Ty "po staremu" to faktycznie nie jest prosty :wink:
niemniej widze tu pewną sprzeczność
Bo mimo, że chciałeś na czasach własnych działać, to jednak działałeś na czasach współrzędnościowych. Czas współrzędnościowy związany jest z danym układem inercjalnym. A np. dla bliźniaka który się zatrzymuje musimy rozpatrywać aż trzy układy inercjalne (lot, postój i lot powrotny). Zmiana układu odniesienia z jednego inercjalnego na drugi powoduje rozsynchronizowanie zegarów i trzeba obliczac poprawki z tym związane, czego nie uczyniłeś, a co właśnie oblicza Szymacha w swojej książce. Ogólnie polecam Ci ją wypożyczyć jak chcesz zobaczyć jak dobrze takie problemy rozwiązywać metodą 'po staremu'. Po nowemu masz w moim pierwszym poście.
Swoją drogą chyba nigdy na oczy Szymachy nie widziałem :o
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

paradoks trzech bliźniaków

Post autor: Jan Kraszewski »

slawekp pisze:Paradoks trzech bliźniaków
Przepraszam za OT, ale nie mogłem się powstrzymać...

Dla mnie największym paradoksem jest, że jest trzech bliźniaków, bo z definicji bliźniaki są dwa, a jak jest trzech, to są trojaczki...

JK
slawekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 14 cze 2018, o 08:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: paradoks trzech bliźniaków

Post autor: slawekp »

to celowe. "paradoks trojaczków" już nie brzmi tak "relatywistycznie" -- 13 sty 2019, o 07:46 --dzieki Adi, pożyczę sobie te książkę i spróbuję policzyć te poprawki. interesuja mnie czasy własne, czyli porównanie wskazań zegarków jak już wszystkie "bliźniaki" spotkaja się na Ziemi. Twój sposób rozwiązania w układzie Ziemi jest dla mnie jasny, jednak wciąż nurtuje mnie problem związany z wysiadką drugiego bliźniaka i jego powrót na rakietę. Dla mnie jest to sytuacja identyczna jak z klasycznego paradoksu bliźniąt - drugi bliźniak "startuje" z rakiety, odbywa lot i potem na niej "ląduje". To on doznaje przyspieszeń, więc to on powinien być - według klasycznego paradoksu - młodszy od trzeciego bliźniaka. Poza tą jedną sytuacją jego zegarek chodzi zawsze dokładnie tak samo jak zegarek trzeciego bliźniaka.
Robiono przecież eksperyment z satelitą i zegarem na nim umieszczonym, po wylądowaniu zegar na nim wskazywał, że na satelicie upłynęło nieco mniej czasu niż na Ziemi. Nie widzę dlaczego w sytuacji wysiadki drugiego bliźniaka miało by być inaczej. Jego zagarek wskaże wcześniejszą godzinę, niz zegarek trzeciego bliźniaka. Jedyną szanse rozwiązania problemu upatruje w tym, ze rakieta musi jakoś zawrócić, czyli również doznac przyspieszenia.
ODPOWIEDZ