Zderzenie protonu z elektronem

[kama25]

Proton poruszający się z prędkością \(\displaystyle{ \beta c}\) uderza w spoczywający elektron o masie \(\displaystyle{ m}\) i wybija go pod kątem \(\displaystyle{ \theta}\) do kierunku swojego lotu. Pokazać, że energia przekazana przez proton elektronowi wynosi w przybliżeniu
\(\displaystyle{ E = \frac{2m(c\beta\cos\theta)^2}{1 -(\beta\cos\theta)^2}}\).

[AiDi]

Zacznij od zastosowania zasad zachowania energii i pędu.

[kama25]

Zacznij od zastosowania zasad zachowania energii i pędu.

Tak też zaczęłam ale nie znam kąta odchylenia protonu

\(\displaystyle{ E = E_1 +E_2 \Rightarrow \frac{p^2}{2m_p} = \frac{p_1^2}{2m_p}+ \frac{p_2^2}{2m} \\
\vec{p} =\vec{p_1} + \vec{p_2} \Rightarrow \begin{cases}p=p_1\cos \alpha+p_2 \cos \theta \\ p_1 \sin \alpha = p_2 \sin \theta \end{cases}}\)

[AiDi]

Tylko, że w STW obowiązują trochę inne wzory na energię Zasady zachowania wyglądają następująco:
\(\displaystyle{ E=\frac{m_pc^2}{\sqrt{1-\beta_p^2}}+\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-\beta_e^2}},\\
p=\frac{m_p\beta_pc}{\sqrt{1-\beta_p^2}}\cos \alpha+\frac{m_e\beta_ec}{\sqrt{1-\beta_e^2}}\cos \theta, \\
\frac{m_p\beta_pc}{\sqrt{1-\beta_p^2}} \sin \alpha = \frac{m_e\beta_ec}{\sqrt{1-\beta_e^2}}\sin \theta.}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ E=\frac{m_pc^2}{\sqrt{1-\beta^2}}+m_ec^2,\\
p=\frac{m_p\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}}}\)
Niewiadome to \(\displaystyle{ \alpha, \beta_p}\) i \(\displaystyle{ \beta_e}\).
Dalej mając to szukasz:
\(\displaystyle{ \Delta E=\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-\beta_e^2}}-m_ec^2}\).

Generalnie to niemały syf. Ja sobie to rozpisałem na czterowektorach i syf się też pojawia, ale dużo mniejszy. Nie wiem jak sensownie zacząć metodą układu równań powyżej. Może np. wyrazić wszystko przez szukane \(\displaystyle{ \Delta E}\), wtedy zostanie do pozbycia się kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) (co nie jest trudne) oraz \(\displaystyle{ \beta_p}\).

Metoda czterowektorowa:
Początkowe czterowektory:
\(\displaystyle{ p_e=(m_ec,0,0),\\
p_p=(\gamma m_pc,p,0).}\)
Końcowe czterowektory:
\(\displaystyle{ p_e'=(\gamma_em_ec,p_2\cos\theta,p_2\sin\theta),\\
p_p'=(\gamma_pm_pc,p_1\cos\alpha,p_1\sin\alpha).}\)
Z zasady zachowania czteropędu:
\(\displaystyle{ p_e+p_p=p_e'+p_p'}\)
co ze względu na to, że kompletnie nas nie interesuje \(\displaystyle{ p_p'}\) przepisujemy następująco:
\(\displaystyle{ p_p+(p_e-p_e')=p_p'}\)
i stronami "podnosimy do kwadratu":
\(\displaystyle{ p_p^2+2p_p(p_e-p_e')+(p_e-p_e')^2=p_p'^2}\).
Dalej upraszczamy korzystając z tego, że kwadrat długości czterowektora pędu jest dla danej cząstki zawsze taki sam: \(\displaystyle{ p_p^2=p_p'^2}\) (odejmą się), \(\displaystyle{ p_e^2=p_e'^2=m_e^2c^2}\) (dodadzą się), oraz tego, że \(\displaystyle{ p_e-p_e'=(m_ec(1-\gamma_e), -p_2\cos\theta,-p_2\sin\theta)}\), \(\displaystyle{ p_ep_e'=\gamma_em_e^2c^2}\):
\(\displaystyle{ 2p_p(p_e-p_e')=2\gamma m_pcm_ec(1-\gamma_e)-(-pp_2\cos\theta),\\
(p_e-p_e')^2=p_e^2-2p_ep_e'+p_e'^2=2m_e^2c^2-2\gamma_em_e^2c^2.}\)

W tej chwili tego nie dokończę bo idę umierać na zatoki, ale zdaje się że dostajemy jedno równanie wiążące \(\displaystyle{ \gamma_e}\) i \(\displaystyle{ p_2}\). Drugim jest zależność między energią cząstki, a jej pędem i energią spoczynkową:
\(\displaystyle{ (\gamma_em_ec^2)^2=(p_2c)^2+(m_ec^2)^2}\).
Pozbyć się \(\displaystyle{ p_2}\), wyznaczyć \(\displaystyle{ \gamma_e}\) i wstawić do:
\(\displaystyle{ \Delta E=\gamma_em_ec^2-m_ec^2}\).

Coś mi się zdaje, że jest jeszcze sprytniejszy sposób. Spróbuję coś jeszcze wymyślić.

[kama25]

i co ? udało ci się coś wymyślić ?

[AiDi]

Nope, ale sprobuję dokończyć rachunek po weekendzie, bo jestem daleko od cywilizacji, znajomi pracują, a ja się nudzę.

EDIT:

No to lecim.

Jako, że nie czułem się za dobrze przeprowadzając ostatni rachunek przez co mogłem popełnić jakieś błędy, to postanowiłem zacząć go od nowa. Zmieniłem przy tym nieco oznaczenia na wygodniejsze. Jak się okazało, przedwcześnie uznałem rachunki za skomplikowane, bo się dość ładnie upraszczają pod koniec.

Przyjmijmy:
\(\displaystyle{ m}\) - masa elektronu
\(\displaystyle{ M}\) - masa protonu
\(\displaystyle{ P}\) - wartość początkowego pędu protonu
\(\displaystyle{ E}\) - wartość początkowej energii protonu

Naszymi danymi są \(\displaystyle{ m, \beta}\) i \(\displaystyle{ \theta}\). W rachunkach posługiwać się będziemy \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ P}\) których jawne wzory wyglądają tak:
\(\displaystyle{ E=\frac{Mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}},\\
P=\frac{M\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}}.}\)
Nam przyda się tylko związek między nimi postaci:
\(\displaystyle{ \frac{E}{c}=\frac{P}{\beta}}\).

Rachunek zaczynamy tak jak ostatnio. Początkowe czteropędy:
\(\displaystyle{ p_e= \left( mc,0,0 \right) ,\\ p_p= \left( \frac{E}{c},P,0 \right),}\)
oraz końcowe czteropędy (tu też zmieniłem trochę oznaczenia):
\(\displaystyle{ p_e'= \left( \gamma_emc,p\cos\theta,p\sin\theta \right) ,\\ p_p'= \left( \gamma_pMc,p'\cos\alpha,p'\sin\alpha \right) .}\)

Szukaną przez nas wielkością jest przyrost energii elektronu, który w wybranym przez nas układzie odniesienia jest równy zyskanej przez niego energii kinetycznej:
\(\displaystyle{ \Delta E=mc^2 \left( \gamma_e-1 \right)}\).

Z zasady zachowania czteropędu mamy:
\(\displaystyle{ p_e+p_p=p_e'+p_p'}\)
co ze względu na to, że kompletnie nas nie interesuje \(\displaystyle{ p_p'}\) przepisujemy następująco:
\(\displaystyle{ \left( p_e-p_e' \right) +p_p=p_p'}\)
i podnosimy stronami do kwadratu:
\(\displaystyle{ \left( p_e-p_e' \right) ^2+2p_p \left( p_e-p_e' \right) +p_p^2=p_p'^2.}\)

Kwadrat czteropędu protonu jest wielkością stałą: \(\displaystyle{ p_p^2=p_p'^2}\), przez co ostatnia równość się upraszcza:
\(\displaystyle{ \left( p_e-p_e' \right) ^2+2p_p \left( p_e-p_e' \right) =0.}\)

Zajmijmy się pierwszym składnikiem sumy:
\(\displaystyle{ \left( p_e-p_e' \right) ^2=p_e^2-2p_ep_e'+p_e'^2=2m^2c^2-2\gamma_em^2c^2=-2m\Delta E,}\)
gdzie wykorzystałem zależność:
\(\displaystyle{ p_e^2=p_e'^2=m^2c^2.}\)

Teraz drugi składnik sumy.
\(\displaystyle{ p_e-p_e'= \left( -mc \left( \gamma_e-1 \right) , -p\cos\theta,-p\sin\theta \right) = \left( -\frac{\Delta E}{c}, -p\cos\theta,-p\sin\theta \right)}\)
zatem:
\(\displaystyle{ 2p_p \left( p_e-p_e' \right) =2 \left( -\frac{E\Delta E}{c^2}- \left( -pP\cos\theta \right) \right).}\)

Łączymy oba składniki otrzymujemy po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \left( cp \right) \cdot P\cos\theta=\Delta E \left( mc+\frac{E}{c} \right)}\).
Czynnik \(\displaystyle{ cp}\) wyłączyłem specjalnie, bo teraz będziemy musieli się go pozbyć. Korzystamy z zależności łączącej energię i trójpęd elektronu:
\(\displaystyle{ \left( mc^2+\Delta E \right) ^2=p^2c^2+m^2c^4}\)
skąd:
\(\displaystyle{ p^2c^2=2mc^2\Delta E+\Delta E^2}\).
Wstawiamy to do poprzedniej równości podniesionej do kwadratu:
\(\displaystyle{ \left( 2mc^2\Delta E+\Delta E^2 \right) \cdot P^2\cos^2\theta=\Delta E^2 \left( mc+\frac{E}{c} \right) ^2}\)
i stąd już łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ \Delta E}\):
\(\displaystyle{ \Delta E=\frac{2mc^2P^2\cos^2\theta}{ \left( mc+\frac{E}{c} \right) ^2-P^2\cos^2\theta}.}\)

Jest to wzór dokładny. Przybliżenie będzie polegało na pominięciu \(\displaystyle{ mc}\) w mianowniku, bo masa elektronu, lub co bardziej użyteczne, jego energia spoczynkowa jest zwykle bardzo mała w porównaniu z innymi energiami. Pomijając \(\displaystyle{ mc}\) i podmieniając \(\displaystyle{ E/c}\) na \(\displaystyle{ P/\beta}\) dostaniemy to czego szukaliśmy:
\(\displaystyle{ \Delta E\approx\frac{2mc^2\beta^2\cos^2\theta}{ 1-\beta^2\cos^2\theta}}\)

[kama25]

Dziękuję , zgrabnie policzone