Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa fragmenty
-
Chomik19
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 3 gru 2017, o 15:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 40 razy
Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa fragmenty
Spoczywające ciało o masie \(\displaystyle{ M}\) rozpada się na dwa fragmenty o masach spoczynkowych \(\displaystyle{ m_{01}}\) i \(\displaystyle{ m_{02}}\). Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych fragmentów.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa fragmenty
Dane:
\(\displaystyle{ M,\ m_{1},\ m_{2}}\)
Wyznaczyć:
\(\displaystyle{ E_{k1},\ E_{k2}}\)
Analiza zadania
Zakładamy, że na ciało o masie \(\displaystyle{ M}\) nie działają żadne siły zewnętrzne.
Przyjmujemy więc układ, w którym ciało to spoczywa.
Rozwiązanie
Z prawa zachowania energii - energia spoczynkowa:
\(\displaystyle{ Mc^2 = E_{1} + E_{2}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ E_{1}, E_{2}}\) - energie całkowite cząstek (produktów rozpadu).
Z prawa zachowania pędu:
\(\displaystyle{ 0 = p_{1} + p_{2}}\) (1)
Z relatywistycznego związku między pomiędzy energią cząstki \(\displaystyle{ E}\) o masie spoczynkowej \(\displaystyle{ m_{0}}\) i pędzie \(\displaystyle{ p:}\)
\(\displaystyle{ E = c\sqrt{m^2_{0} c^2 +p^2}\ |^2}\)
\(\displaystyle{ E^2 = m^2_{0}c^4 + c^2 p^2}\)
Z równania (1):
\(\displaystyle{ p_{1} = -p_{2}\ |^2}\)
\(\displaystyle{ p^2_{1} = (-p_{2})^2 = p^2_{2}}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ E^2_{1}- m^2_{01}c^4 = E^2_{2} - m^2_{02}c^4}\)
\(\displaystyle{ E^2_{1} - E^2_{2} = c^4(m^2_{01} - m^2_{02})}\)
\(\displaystyle{ (E_{1}- E_{2})(E_{1}+E_{2}) = (E_{1}- E_{2})Mc^2}\)
\(\displaystyle{ E_{1} - E_{2}= \frac{c^2(m^2_{01} - m^2_{02}}{M}}\)
\(\displaystyle{ E_{1} - ( Mc^2 - E_{1}) = \frac{c^2(m^2_{01} - m^2_{02})}{M}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ E_{1}= \frac{c^2(m^2_{01}-m^2_{02}) + M^2 c^2}{2M}}\)
\(\displaystyle{ E_{2} = \frac{M^2 c^2 - c^2(m^2_{01}- m^2_{02})}{2M}}\)
Ze związku, że energia energia całkowita jest sumą energii spoczynkowej i kinetycznej, otrzymujemy równania na energię kinetyczne cząstek powstałych z rozpadu:
\(\displaystyle{ E_{k1} = E_{1} - m_{01} c^2 = \frac{c^2}{2M}\left[(M- m_{01})^2 - m^2_{02}\right]}\)
\(\displaystyle{ E_{k2} = E_{2} - m_{02} c^2 = \frac{c^2}{2M}\left[(M- m_{02})^2 - m^2_{01}\right]}\)
\(\displaystyle{ M,\ m_{1},\ m_{2}}\)
Wyznaczyć:
\(\displaystyle{ E_{k1},\ E_{k2}}\)
Analiza zadania
Zakładamy, że na ciało o masie \(\displaystyle{ M}\) nie działają żadne siły zewnętrzne.
Przyjmujemy więc układ, w którym ciało to spoczywa.
Rozwiązanie
Z prawa zachowania energii - energia spoczynkowa:
\(\displaystyle{ Mc^2 = E_{1} + E_{2}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ E_{1}, E_{2}}\) - energie całkowite cząstek (produktów rozpadu).
Z prawa zachowania pędu:
\(\displaystyle{ 0 = p_{1} + p_{2}}\) (1)
Z relatywistycznego związku między pomiędzy energią cząstki \(\displaystyle{ E}\) o masie spoczynkowej \(\displaystyle{ m_{0}}\) i pędzie \(\displaystyle{ p:}\)
\(\displaystyle{ E = c\sqrt{m^2_{0} c^2 +p^2}\ |^2}\)
\(\displaystyle{ E^2 = m^2_{0}c^4 + c^2 p^2}\)
Z równania (1):
\(\displaystyle{ p_{1} = -p_{2}\ |^2}\)
\(\displaystyle{ p^2_{1} = (-p_{2})^2 = p^2_{2}}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ E^2_{1}- m^2_{01}c^4 = E^2_{2} - m^2_{02}c^4}\)
\(\displaystyle{ E^2_{1} - E^2_{2} = c^4(m^2_{01} - m^2_{02})}\)
\(\displaystyle{ (E_{1}- E_{2})(E_{1}+E_{2}) = (E_{1}- E_{2})Mc^2}\)
\(\displaystyle{ E_{1} - E_{2}= \frac{c^2(m^2_{01} - m^2_{02}}{M}}\)
\(\displaystyle{ E_{1} - ( Mc^2 - E_{1}) = \frac{c^2(m^2_{01} - m^2_{02})}{M}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ E_{1}= \frac{c^2(m^2_{01}-m^2_{02}) + M^2 c^2}{2M}}\)
\(\displaystyle{ E_{2} = \frac{M^2 c^2 - c^2(m^2_{01}- m^2_{02})}{2M}}\)
Ze związku, że energia energia całkowita jest sumą energii spoczynkowej i kinetycznej, otrzymujemy równania na energię kinetyczne cząstek powstałych z rozpadu:
\(\displaystyle{ E_{k1} = E_{1} - m_{01} c^2 = \frac{c^2}{2M}\left[(M- m_{01})^2 - m^2_{02}\right]}\)
\(\displaystyle{ E_{k2} = E_{2} - m_{02} c^2 = \frac{c^2}{2M}\left[(M- m_{02})^2 - m^2_{01}\right]}\)