Fibik pisze:Księżyc oddala się zwyczajnie od kapsuły.
Oddali się na odległość x to kapsuła jest x od centrum - zgadza się?
x od centrum siła grawitacji nie jest już zerowa - jaka? Większa...
No i co się wtedy dzieje?
Spada swobodnie, i tyle.
Gdzie te przeciążenia?
nikt z nas nie był nigdy w środku jakiejś dużej kuli (wytwarzającej zauważalne pole grawitacyjne) więc nie radziłbym polegać na intuicji. Rozważmy energię potencjalną jakiegoś ciała o masie
\(\displaystyle{ m}\) znajdującego się w obecności jakiejś kuli pozbawionej wnętrza, czyli tylko powłoki o masie
\(\displaystyle{ M}\). Jej promień to
\(\displaystyle{ r}\), a odległość ciała od środka:
\(\displaystyle{ k}\). Rysujemy sobie na kartce rzut kuli na płaszczyznę, czyli koło.
\(\displaystyle{ a}\) niech oznacza odległość środka od jakiegoś płaskiego przekroju naszej kuli, przekrój ten jest prostopadły do
\(\displaystyle{ k}\). Potem kroimy jeszcze raz, równolegle do pierwszego przekroju i w odległości
\(\displaystyle{ \mbox{d} a}\) od niego. Cała masa zawarta w pasku o szerokości
\(\displaystyle{ \mbox{d} a}\) jest równoodległa od naszego ciała, odległość oznaczamy
\(\displaystyle{ t}\). Kąt zawarty między
\(\displaystyle{ k}\) i
\(\displaystyle{ r}\) gdzie
\(\displaystyle{ r}\) łączy środek z obwodem okręgu wyznaczonego przez przekrój wynosi
\(\displaystyle{ \alpha}\),
\(\displaystyle{ n}\) to promień przekroju (który jest kołem).
energia potencjalna ciała, której źródłem jest ten pasek wyznaczony przez dwa przekroje wynosi:
\(\displaystyle{ \mbox{d} E_{p}=-\frac{Gm\mbox{d} M}{t}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \mbox{d} M}\) jest masą tego paska i wynosi:
\(\displaystyle{ \mbox{d} M=2\pi\rho n\mbox{d} t}\)
\(\displaystyle{ \rho}\) to jakby gęstość, wynosi
\(\displaystyle{ \frac{M}{4\pi r^{2}}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{\mbox{d} a}{\mbox{d} t} = \frac{n}{r}}\), więc
\(\displaystyle{ \mbox{d} M= \frac{2\pi\rho n \mbox{d} a}{sin\alpha} = 2\pi \rho r \mbox{d} a}\)
zatem energia potencjalna z tego paska:
\(\displaystyle{ \mbox{d} E_{p}=-\frac{2\pi Gm \rho r \mbox{d} a}{t}}\)
zachodzi zależność:
\(\displaystyle{ t \cdot \mbox{d} t=k \cdot \mbox{d} a \iff \frac{\mbox{d} a}{t} = \frac{\mbox{d} t}{k}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d} E_{p}=-\frac{2\pi Gm \rho r \mbox{d} t}{k}}\)
całkując:
\(\displaystyle{ E_{p}= -\frac{2\pi Gm \rho r}{k} \int_{p}^{q} \mbox{d} t = -\frac{2\pi Gm \frac{M}{4\pi r^{2}} r}{k} \cdot (q-p) = -\frac{GmM}{2rk} \cdot (q-p)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ p}\) odległość ciała od najbliższego punktu powłoki
\(\displaystyle{ q}\) odległość ciała od najdalszego punktu powłoki
czyli dla
\(\displaystyle{ k>r}\) (ciało na zewnątrz):
\(\displaystyle{ p=k-r q=k+r E_{p}=-\frac{GMm}{k}}\) a więc jest taka jakby cała masa skupiła się w środku
dla
\(\displaystyle{ k q=k+r E_{p}=-\frac{GMm}{r}}\) czyli energia potencjalna jest stała, nie zależy od położenia ciała (we wzorze nie występuje
\(\displaystyle{ k}\)), a więc jak księżyc przyspieszy to nic nas nie ściągnie do środka jeśli się trochę przesuniemy... te sztuczki z księżycem to trochę jak próba udowodnienia, że można przekroczyć prędkość światła na końcu obracającego się ramienia, wystarczy tylko dostatecznie długie ramię, prędkość kątowa nie musi być duża...