Model GPS

Szczególna i ogólna teoria względności. Zjawiska relatywistyczne.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Model GPS

Post autor: Dasio11 »

W książce Grawitacja Jamesa B. Hartle'a (str. 77) opisano model GPS:
Dla uproszczenia ograniczamy się do dwóch wymiarów przestrzennych: poziomego (\(\displaystyle{ x}\)) i pionowego (\(\displaystyle{ y}\)). Podróżnik zabłądził podczas wędrówki po powierzchni Ziemi, dla której \(\displaystyle{ y = 0}\). Nad jego głową, na wysokości \(\displaystyle{ h}\) przelatuje grupa satelitów, lecących z prędkością \(\displaystyle{ V}\). Odległość między satelitami, mierzona w ich układzie spoczynkowym, wynosi \(\displaystyle{ L_*}\). Satelity są wyposażone w zegary, które zostały zsynchronizowane, tak aby pokazywały ten sam czas w ich układzie spoczynkowym. Satelity w regularnych odstępach czasu emitują sygnały z informacją o wskazaniach swoich zegarów i położeniu poziomym (\(\displaystyle{ x}\)).

Podróżnik równocześnie odbiera sygnały od dwóch najbliższych satelitów, jednego z prawej, drugiego z lewej. Sygnały zawierają informację, że zostały wysłane równocześnie. Czy to oznacza, że podróżnik znajduje się w środku między dwoma zegarami? Nie, bo żeby tak było, sygnały musiałyby zostać wysłane równocześnie w jego układzie spoczynkowym. Z uwagi na względność równoczesności, w układzie podróżnika sygnał z zegara po jego prawej stronie został wysłany o \(\displaystyle{ \Delta t = \gamma \frac{V}{c^2} L_*}\) później niż z zegara po lewej stronie. Podróżnik znajduje się zatem bliżej zegara po prawej stronie [...]
Z moich obliczeń wynika jednak, że w układzie spoczynkowym podróżnika, w momencie odbierania przez niego obu sygnałów znajduje się on w równej odległości od obu satelitów. Podejrzewam, że autor miał na myśli, iż podróżnik nie znajduje się dokładnie pomiędzy wskazaniami przestrzennymi odebranych sygnałów. Czy faktycznie jest to nieścisłość ze strony autora, czy czegoś głębiej nie rozumiem?
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Model GPS

Post autor: AiDi »

Dasio11 pisze:Podejrzewam, że autor miał na myśli, iż podróżnik nie znajduje się dokładnie pomiędzy wskazaniami przestrzennymi odebranych sygnałów.
Tak. Czas przelotu sygnału jest skończony, zatem nie ma potrzeby zastanawiać się gdzie są satelity w momencie odbioru sygnału przez podróżnika. Choć w sumie jest to całkiem fajne zadanie. Samo pytanie można przeformułować w następujący sposób: Czy to oznacza, że podróżnik znajdow się w środku między dwoma zegarami w chwili emisji sygnałów?
No i nie, bo w układzie podróżnika nie ma czegoś takiego jak chwila emisji, są dwie chwile.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Model GPS

Post autor: Dasio11 »

Dzięki, rozumiem.
ODPOWIEDZ