Metoda iteracyjna, a definicja F

[kaetae]

Mam następujące zadanie:
Załóżmy, że metoda iteracyjna:
\(\displaystyle{ x_{k+1} = F(x_{k})}\)
jest zbieżna do pierwiastka \(\displaystyle{ \alpha}\) równania \(\displaystyle{ f\left( x\right) = 0}\). Wykazać, że jeśli:\(\displaystyle{ F\left( \alpha\right) = \alpha, F^{'}\left( \alpha\right) = F^{''}\left( \alpha\right) = ... = F^{p-1}\left( \alpha\right) = 0}\)


Nie ważne co jest dalej, nie chcę rozwiązania, a jedynie rozwianie jednej z moich wątpliwości. Czym dokładnie jest w tym przypadku \(\displaystyle{ F}\)? Rozumiem, że w metodzie iteracyjnej musimy wyprowadzić funkcję \(\displaystyle{ g\left( x\right) = x}\) i wtedy \(\displaystyle{ x_{k+1} = g\left( x_{k}\right)}\), ale w takim przypadku, skoro \(\displaystyle{ \left( \alpha\right) = \alpha}\) to ta funkcja zawsze będzie stała w każdym kolejnym punkcie. Co mi z tego, że pochodna jest równa 0? Przecież w tej metodzie jest ona zbędna. Może mi ktoś dokładniej wytłumaczyć cały ten zapis?

[Igor V]

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest rozwiązaniem dokładnym to z definicji punktu zbieżności algorytmu \(\displaystyle{ F}\) wynika że \(\displaystyle{ F(\alpha) = \alpha}\). Algorytm \(\displaystyle{ F}\) z każdą kolejną iteracją ma nas coraz bardziej zbliżać do rozwiązania rzeczywistego. Więc jak wybrałby dokładnie \(\displaystyle{ \alpha}\) to musi dać taki sam rezultat, bo to jest wartość dokładna. A pochodne mogą się przydać jak rozwiniesz \(\displaystyle{ F}\) wokół \(\displaystyle{ \alpha}\)