[MATLAB] Pętla na integratorze

[martinex93]

Czy ktoś mógłby osobie niezbyt zagłębionej w tajniki matematyki i matlaba wyjaśnić dlaczego układ połączony tak jak na obrazku z initial condition = 1 dla integratora daje w efekcie wykres funkcji \(\displaystyle{ e^x}\)? Z jakim zjawiskiem mam do czynienia? Z góry dziękuję za odpowiedź

[mdd]

Czy ktoś mógłby osobie niezbyt zagłębionej w tajniki matematyki i matlaba wyjaśnić dlaczego układ połączony tak jak na obrazku z initial condition = 1 dla integratora daje w efekcie wykres funkcji \(\displaystyle{ e^x}\)? Z jakim zjawiskiem mam do czynienia? Z góry dziękuję za odpowiedź

Oznaczmy sygnał na wejściu integratora przez \(\displaystyle{ x(t)}\).
Oznaczmy sygnał na wyjściu integratora przez \(\displaystyle{ y(t)}\).
_____________________________________________________________________________________________________________
Ogólnie integrator realizuje operację:

\(\displaystyle{ y(t)=\int\limits_{0}^{t}x(\tau)d \tau+y(0)}\)

\(\displaystyle{ y(0)}\) - to właśnie "initial condition", czyli wartość wyjścia integratora w chwili \(\displaystyle{ t=0}\) (stan integratora na początku symulacji).

Innymi "słowy"... integrator "rozwiązuje" zagadnienie początkowe:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dy(t)}{dt}=x(t)\\y(0)=y_{0}\end{cases}}\)
_____________________________________________________________________________________________________________
W przypadku pokazanym na rysunku mamy dodatkowo sprzężenie zwrotne - wyjście integratora jest podłączone z jego wejściem:

\(\displaystyle{ x(t)=y(t)}\)

a wartość początkowa wyjścia integratora ma wartość: \(\displaystyle{ y_0=1}\)

...w związku z czym sygnał \(\displaystyle{ y(t)}\) na wyjściu integratora jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dy(t)}{dt}=y(t)\\y(0)=1\end{cases} \implies y(t)=e^t}\)