Wzór na sumę wektorów

[Hoieg]

Dzień dobry
Prosiłbym o napisanie wzorów na długość i nachylenie względem pionu (w stopniach) sumy dwóch wektorów gdy znamy ich długość i nachylenie (względem pionu) oraz wiemy że mają wspólny początek
Wiem że piszę dość niejasno ale chodzi mi o wzrory do których wrzucamy nachylenie względem pionu jednego i drugiego wektora oraz ich długości a otrzymujemy nachylenie i długość ich sumy.

Nachylenie względem pionu znaczy tyle że góra to 0 stopni, prawo to 90, lewo -90 lub 270 (obojętnie) a dół to 180

Z góry dziękuję i przepraszam za błędy ort. i niejasności. Mam nadzieję że każdy zrozumie o co mi chodzi.

[tomkoder]

To ładnie widać jak narysujesz w układzie współrzędnych.

Twoje wektory to przeciwprostokątne trójkątów prostokątnych w których jeden z kątów (nachylenie) znasz.
Możesz więc wyliczyć długości przyprostokątnych w tych trójkątach.

Jedna będzie miała długość: przeciwprostokątna * cosinus kąta nachylenia,
a druga: przeciwprostokątna * sinus kąta nachylenia.

Teraz trzeba je zsumować (dwie przeciwprostokątne "poziome" ze sobą i dwie "pionowe") i otrzymasz długości przyprostokątnych szukanego wektora.
Mając to możesz obliczyć z Pitagorasa przeciwprostokątną - czyli długość wektora, oraz kąt jego nachylenia.

Jako że w różnych ćwiartkach sin i cos mogą być ujemne to obliczone długości przyprostokątnych danych mogą mieć wartości ujemne - i tak ma być - przykładowo jak jeden wektor jest w I ćwiartce ukł. współrzędnych a drugi w III to w efekcie musisz je odjąć.
Dzięki temu że wyliczone długości wyjdą Ci ujemne masz to załatwione automatycznie.

[Hoieg]

Tylko nie rozumiem teraz jak wyliczyć przyprostokątne gdy kąt nachylenia wektoru jest większy lub równy 90 stopni.

[tomkoder]

No jak będzie wynosił np. \(\displaystyle{ \alpha =150^o}\) to ze wzorów redukcyjnych otrzymasz \(\displaystyle{ sin30^o}\) oraz \(\displaystyle{ -cos30^o}\)

Dla sinusa:
\(\displaystyle{ sin(180^o- \alpha) = sin \alpha}\)
więc
\(\displaystyle{ sin150^o = sin(180^o-30^o) = sin30^o}\)

[Hoieg]

A mógłbym poprosić o napisanie tego wszystkiego w postaci wzorów w których nie ma żadnych jeżeli i tego tybu rzeczy, bo robię program który będzie to wykorzystywać i każde takie coś mocno komplikuje sprawę.

[tomkoder]

No właśnie tak myślałem ze chodzi o program.

Jeśli nazwiemy wektory dane \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) oraz szukany \(\displaystyle{ z}\)
to ich współrzędne/przyprostokątne x-owe nazwę odpowiednio \(\displaystyle{ a_x; a_y; a_z}\)
a współrzędne/przyprostokątne y-owe nazwę odpowiednio \(\displaystyle{ b_x; b_y; b_z}\)
kąt nachylenia wektora \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ \alpha ,}\)
wektora \(\displaystyle{ y}\) to \(\displaystyle{ \beta ,}\)
wektora \(\displaystyle{ z}\) to \(\displaystyle{ \gamma ,}\)

wtedy:
\(\displaystyle{ a_x=xcos \alpha}\)
\(\displaystyle{ b_x=xsin \alpha}\)
\(\displaystyle{ a_y=ycos \beta}\)
\(\displaystyle{ b_y=ysin \beta}\)

i stąd:
\(\displaystyle{ a_z=a_x+a_y=xcos \alpha+ycos \beta}\)
\(\displaystyle{ b_z=b_x+b_y=xsin \alpha+ysin \beta}\)


\(\displaystyle{ z}\) to przeciwprostokątna do \(\displaystyle{ a_z; b_z}\)
czyli
\(\displaystyle{ z= \sqrt{a_z^2+b_z^2} =\sqrt{(xcos \alpha+ycos \beta)^2+(xsin \alpha+ysin \beta)^2}}\)

W programie użyjesz gotowej funkcji obliczającej sin i cos więc nie będziesz musiał "ręcznie" redukować

Mamy więc już długość wektora.

A kąt nachylenia \(\displaystyle{ \gamma}\) wyznaczysz np.
\(\displaystyle{ sin \gamma = \frac{b_z}{z} = \frac{xsin \alpha+ysin \beta}{\sqrt{(xcos \alpha+ycos \beta)^2+(xsin \alpha+ysin \beta)^2}}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ b_z}\) mogło wyjść ujemne to możesz mieć że sin będzie ujemny.
Ręcznie to trzeba by policzyć dla wartości dodatniej a potem dodać odpowiednią ilość stopni (niejako odwrotnie do wzorów redukcyjnych).

W programie natomiast skorzystasz zapewne z konkretnej funkcji która Ci go od razu wyliczy - a ręcznie

[Ania221]

Można też zbudować na tych wektorach równoległobok.
Kąt między wektorami ma miarę \(\displaystyle{ \beta-\alpha}\), my używamy twierdzenia cosinusów dla tego drugiego kąta czyli\(\displaystyle{ \left[180-(\beta-\alpha )\right]}\)

\(\displaystyle{ z^2 = x^2+y^2-2xy\cos[180-( \beta-\alpha)\right]}\)

\(\displaystyle{ z= \sqrt{ x^2+y^2+2xy\cos( \beta-\alpha)}}\)

Z tego samego trójkąta można wyliczyć cosinus kąta \(\displaystyle{ \gamma}\) między wektorami \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\)

\(\displaystyle{ \cos\gamma= \frac{y^2+z-x^2}{2yz}}\)

Kąt miedzy wektorem \(\displaystyle{ z}\) i pionem będzie sumą \(\displaystyle{ \gamma+\alpha}\)

[Hoieg]

Bardzo dziękuję ale nadal nie dokońca rozumiem jak wyliczyć kąt nachylenia.

[tomkoder]

No w moim rozwiązaniu wyliczasz wartość sinusa lub sinusa tego kąta a mając to jedna z funkcji matematycznych zamieni Ci go na wartość w stopniach.

[Ania221]

[tomkoder]

Ania221 pokazała ładny rysunek, z którego dokładnie widać.

Natomiast jeśli chcesz jeszcze inaczej, to wyobraź sobie to w zwykłym układzie współrzędnych z osią \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\).

U Ciebie odchylenie jest w pionie, ale (posiłkując się rysunkiem Ani221) po obrocie o \(\displaystyle{ 90^o}\) w górę otrzymujemy zwykły układ współrzędnych gdzie odchylenie jest nie od pionu a od poziomu. Kąty i długości zostaną zachowane więc nie robi to różnicy.

Oba dane wektory \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) zaczynają się w jednym punkcie. Niech to będzie \(\displaystyle{ (0;0)}\) czyli początek ukł. wsp.

Z sinusów i cosinusów wyliczasz odległość końca wektora \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) od \(\displaystyle{ (0;0)}\)- będą to oczywiście wyliczone przeze mnie \(\displaystyle{ a_x; b_x; ....}\).

Czyli
koniec wektora \(\displaystyle{ x}\) jest w \(\displaystyle{ (a_x; b_x)}\)
koniec wektora \(\displaystyle{ y}\) jest w \(\displaystyle{ (a_y; b_y)}\)

Mam nadzieję że wiesz jak obliczyć sumę dwóch wektorów w ukł. wsp. mając współrzędne ich początków i końców.
Tak więc nie tłumacząc otrzymujemy współrzędne końca wektora \(\displaystyle{ z}\): \(\displaystyle{ (z_x; z_y) = (a_x+b_x; a_y +b_y)}\)
Oczywiście ponieważ początki wektorów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są w pkt.\(\displaystyle{ (0; 0)}\) początek wektora \(\displaystyle{ z}\) musi być w tym samym punkcie.

Mając wsp. początku i końca wektora \(\displaystyle{ z}\) liczysz jego długość.

Obliczasz więc np. s\(\displaystyle{ in \gamma = \frac{x_z}{z}}\) - tak jak to obliczyłem w poście wcześniej.
Masz wiec kąt, ale od "najbliższej" osi \(\displaystyle{ X}\) a nie od tej ze strzałką przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Masz więc teraz 4 przypadki.
Koniec wektora może być w którejś z \(\displaystyle{ 4}\) ćwiartek układu współrzędnych. Zwróć uwagę ze znaki przy \(\displaystyle{ (z_x; y_x)}\)informują Cię o ćwiartce.
jak oba dodatnie to \(\displaystyle{ I}\), jak \(\displaystyle{ z_x}\) ujemne a \(\displaystyle{ y_x}\) dodatnie to \(\displaystyle{ II}\) itd. - mam nadzieję że to jasne.

I teraz posiłkując się poniższym rysunkiem:

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/2r7y/

aby otrzymać kąt który Cię naprawdę interesuje czyli \(\displaystyle{ \theta}\) musisz go obliczyć tak jak na rysunku - dla każdej ćwiartki inaczej (jak na rysunku) posiłkując się tym że wiesz która to ćwiartka.

To jest właśnie to co pisałem:

Ponieważ \(\displaystyle{ b_z}\) mogło wyjść ujemne to możesz mieć że sin będzie ujemny.
Ręcznie to trzeba by policzyć dla wartości dodatniej a potem dodać odpowiednią ilość stopni (niejako odwrotnie do wzorów redukcyjnych).

Tylko "przełożone" na ukł. wsp.

Mam nadzieję że moje posty i tłumaczenia były POMOCNE pomimo że nie w pełni ZROZUMIAŁE

[Hoieg]

Czyli to zadziała gdy jeszcze dorobię te żeczy z ćwiartkami. Tak?
... u.png.html

[Ania221]

Tu kolega teorii trochę pokazal
354332.htm#p5187105

[tomkoder]

Wygląda na to że powinno zadziałać, tylko nachylenie z powinno być z modułem: \(\displaystyle{ \gamma = arcsin \frac{|b_z|}{z}}\).

Wtedy kąt zawsze będzie dodatni czyli taki jak trzeba.
Ponieważ \(\displaystyle{ arcsin(-\alpha) = -arcsin \alpha}\) więc przy ujemnym \(\displaystyle{ b_z}\) miałbyś ujemny kąt.

[Hoieg]

Może powtórzę to co napisałem nt. kątów bo widzę że troche źle mnie zrozumieliście.
Góra to 0 stopni (lub 360)
Prawo to 90 (lub -270)
Lewo to -90 (lub 270)
Dół to 180 (lub -180)