Ten kod opiera się na fakcie matematycznym: prosta o równaniu
\(\displaystyle{ Ax + By + C = 0}\)
przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ p_1 = (x_1, y_1), p_2 = (x_2, y_2),}\) jeśli
\(\displaystyle{ A = y_2 - y_1 \\
B = x_1 - x_2 \\
C = y_1 \cdot x_2 - y_2 \cdot x_1.}\)
Uwaga: nie jest to jedyna możliwość. Pomnożenie wszystkich współczynników przez jedną niezerową liczbę rzeczywistą da prostą, która również przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2.}\)
Aby wyprowadzić współczynniki podane powyżej, można powołać się na znajome z geometrii analitycznej fakty: wektor \(\displaystyle{ [A, B]}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ [B, -A]}\) oraz do prostej o równaniu
jest do niej prostopadły. Do tego wektora jest też prostopadła każda prosta o równaniu
\(\displaystyle{ A x + B y + C = 0,}\)
jeśli tylko
\(\displaystyle{ A = y_2 - y_1 \\
B = x_1 - x_2,}\)
a więc każda taka prosta jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ \ell.}\) Pozostaje tak dobrać współczynnik \(\displaystyle{ C,}\) żeby punkt \(\displaystyle{ p_1}\) należał do prostej o tym równaniu, bo wówczas to równanie określi prostą
\(\displaystyle{ \bullet}\) równoległą do prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) \(\displaystyle{ \bullet}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ p_1,}\)
a więc w konsekwencji, ta prosta będzie prostą \(\displaystyle{ \ell.}\)
Żeby prosta o równaniu
\(\displaystyle{ Ax + By + C = 0}\)
przechodziła przez punkt \(\displaystyle{ p_1 = \left( x_1, y_1 \right),}\) musi być spełniona równość
Te wzory na współczynniki są poprawne zawsze, niezależnie od tego, czy \(\displaystyle{ x_1 = x_2}\) czy nie. Dlatego warunek sprawdzający w tym kodzie nie jest konieczny. Jest on tylko konsekwencją spostrzeżenia, że w takim przypadku można wszystkie współczynniki skrócić przez wspólny dzielnik