Mam problem zwiazany ze zrozumieniem przeliczania części ułamkowych liczb pomiędzy roznymi systemami pozycyjnymi. Robi się to przez mnożenie ułamka przez podstawę systemu i brania z tych wyników cyfry, która przeszla w wyniku mnozenia przed kropkę dziesiętną.
1 pytanie.
jest to objaśnione w tym fragmencie:
I tego do końca nie rozumiem. Przecież żeby \(\displaystyle{ p^{-1} \cdot p}\) zamieniło się w \(\displaystyle{ p^{0}}\) w przytoczonym wzorze - a więc pierwszą cyfrę przed kropką dziesiętną - oba \(\displaystyle{ p}\) muszą być tą samą liczbą, czyli trzeba mnożyć ułamek przez podstawę systemu, w której sam ułamek jest zapisany. Np. \(\displaystyle{ 0.56_{10}}\) stanie się \(\displaystyle{ 5.6}\) jeśli pomnożymy ułamek przez jego podstawę systemu a więc 10.Pomnóżmy część ułamkową przez podstawę p. Otrzymamy:
[...]
Co uzyskaliśmy w wyniku? Wynikowa liczba ma przesunięte wszystkie cyfry zapisu o jedną pozycję w lewo. Pierwsza cyfra ułamkowa stała się teraz cyfrą całkowitą.
Więc dlaczego poprawne jest zamienianie ułamka w dowolnym systemie na inny docelowy system mnożąc ułamek przez podstawę tego docelowego systemu (jak chcemy zamienić na czwórkowy system to mnożymy ułamek w systemie dziesiętnym przez 4) ? Przecież podstawa \(\displaystyle{ p}\) wg tego wzoru musi być jedna i ta sama, więc teoretycznie mozliwe by były TYLKO "konwersje" na ten sam system:
\(\displaystyle{ 0,56_{10}}\) "na dziesiętny" to:
\(\displaystyle{ 0.56 \cdot 10 = 5.6}\) -> bierzemy 5
\(\displaystyle{ 0.6 \cdot 10 = 6.0}\) -> bierzemy 6
i mamy \(\displaystyle{ 0.56}\).
I taką bezsensowną konwersję rozumiem bo \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p}\) w wyrażeniu \(\displaystyle{ p^{-1} \cdot p}\) to te same liczby czyli \(\displaystyle{ 10^{-1} \cdot 10}\), a nie rózne, jak np. przy zamienianiu na czwórkowy z dziesiętnego: \(\displaystyle{ 10^{-1} \cdot 4}\), czyli raz \(\displaystyle{ p = 10}\), a czasem \(\displaystyle{ p = 4}\). To bez sensu.
Mam nadzieję, że za bardzo tego nie zaciemniłem. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego pomimo nieprawidłowego stosowania tego wzoru (wg mnie, bo przecież \(\displaystyle{ p}\) to stała przyjmująca jedną ustaloną wartość a nie różne) sposób zamiany dziala dobrze ?
2 pytanie.
Dlaczego np. jak zamienimy \(\displaystyle{ 0.6_{10}}\) na czwórkowy:
\(\displaystyle{ 0.6 \cdot 4 = 2.4}\) -> bierzemy 2
\(\displaystyle{ 0.4 \cdot 4 = 1.6}\) -> bierzemy 1
\(\displaystyle{ 0.6 \cdot 4 = 2.4}\) -> bierzemy 2...
czyli dostaniemy \(\displaystyle{ 0.2121...}\)
to przy zamianie z powrotem na dziesiętny nie otrzymamy oryginalnej liczby tylko te same cyfry całkowite?
\(\displaystyle{ 0.2121 \cdot 10 = 2.121}\) -> bierzemy 2
\(\displaystyle{ 0.121 \cdot 10 = 1.21}\) -> bierzemy 1...
Przecież \(\displaystyle{ 0.2121...}\) w czwórkowym to \(\displaystyle{ 0.6}\) w dziesiętnym...
Wiem, że można osiągnąc liczbę w systemie dziesiątkowym przez mnozenie cyfr przez wagi pozycji na ktorych te cyfry stoją, ale chciałbym się dowiedzieć dlaczego TA metoda nie zadziała.
---------------------
Bylbym bardzo wdzieczny jeżeli ktos wytłumaczyłby mi te obie kwestie...
