Zadanie:
Rozwiązać metodą eliminacji układ równań. Przeanalizować działanie algorytmu eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego na przykłądzie ukłądu równań:
\(\displaystyle{ 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} =2}\)
\(\displaystyle{ 2 x_{1} + x_{2} + 3x_{3} =7}\)
\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4}\)
Jak rozwiązać takie zadanie?
[Algorytmy] Eliminacja Gaussa
-
ania1002
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 6 sty 2011, o 13:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Pomógł: 1 raz
[Algorytmy] Eliminacja Gaussa
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 14:19 przez Afish, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
[Algorytmy] Eliminacja Gaussa
Przykładową implementację masz na stronie
W i-tym kroku tej metody odejmujesz od równań o indeksach
większych od i równanie o indeksie i pomnożone przez \(\displaystyle{ \frac{a_{ji}}{a_{ii}}}\)
aż do otrzymania układu równań o trójkątnej macierzy głównej
Układ równań o trójkątnej macierzy głównej rozwiązujesz metodą podstawiania
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} =2 \\ 2 x_{1} + x_{2} + 3x_{3} =7\\x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4 \end{cases}\\}\)
\(\displaystyle{ w_{2}- \frac{2}{3}w_{1}\\
w_{3}- \frac{1}{3}w_{1}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} =2 \\ \qquad \frac{1}{3} x_{2} - x_{3} = \frac{17}{3} \\ \qquad \frac{2}{3} x_{2} - x_{3} = \frac{10}{3} \end{cases}\\}\)
\(\displaystyle{ w_{3}-2w_{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} =2 \\ \qquad \frac{1}{3} x_{2} - x_{3} = \frac{17}{3} \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 x_{1} \qquad \qquad =2-x_{2}-6x_{3} \\ \qquad \frac{1}{3} x_{2} \qquad = \frac{17}{3} +x_{3}\\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\
\begin{cases} 3 x_{1} \qquad \qquad =2-x_{2}-6x_{3} \\ \qquad \frac{1}{3} x_{2} \qquad = \frac{17-24}{3} \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\
\begin{cases} 3 x_{1} \qquad \qquad =2-\left( -7\right) -6\left( -8\right) \\ \qquad x_{2} \qquad = -7 \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\
\begin{cases} 3 x_{1} \qquad \qquad = 57 \\ \qquad x_{2} \qquad = -7 \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\
\begin{cases} x_{1} \qquad \qquad = 19 \\ \qquad x_{2} \qquad = -7 \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\}\)
W i-tym kroku tej metody odejmujesz od równań o indeksach
większych od i równanie o indeksie i pomnożone przez \(\displaystyle{ \frac{a_{ji}}{a_{ii}}}\)
aż do otrzymania układu równań o trójkątnej macierzy głównej
Układ równań o trójkątnej macierzy głównej rozwiązujesz metodą podstawiania
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} =2 \\ 2 x_{1} + x_{2} + 3x_{3} =7\\x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4 \end{cases}\\}\)
\(\displaystyle{ w_{2}- \frac{2}{3}w_{1}\\
w_{3}- \frac{1}{3}w_{1}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} =2 \\ \qquad \frac{1}{3} x_{2} - x_{3} = \frac{17}{3} \\ \qquad \frac{2}{3} x_{2} - x_{3} = \frac{10}{3} \end{cases}\\}\)
\(\displaystyle{ w_{3}-2w_{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} =2 \\ \qquad \frac{1}{3} x_{2} - x_{3} = \frac{17}{3} \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 x_{1} \qquad \qquad =2-x_{2}-6x_{3} \\ \qquad \frac{1}{3} x_{2} \qquad = \frac{17}{3} +x_{3}\\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\
\begin{cases} 3 x_{1} \qquad \qquad =2-x_{2}-6x_{3} \\ \qquad \frac{1}{3} x_{2} \qquad = \frac{17-24}{3} \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\
\begin{cases} 3 x_{1} \qquad \qquad =2-\left( -7\right) -6\left( -8\right) \\ \qquad x_{2} \qquad = -7 \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\
\begin{cases} 3 x_{1} \qquad \qquad = 57 \\ \qquad x_{2} \qquad = -7 \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\
\begin{cases} x_{1} \qquad \qquad = 19 \\ \qquad x_{2} \qquad = -7 \\ \qquad \qquad x_{3} = -8 \end{cases}\\}\)