Okres rozwinięcia liczby binarnej

[vagabond_drv]

Witam, mam pytanie jak, sprawdzić jakiej rozwinięciem liczby jest np: (001) ?
Czyli 0.001001001... daje to nam 1/8 + 1/64 + 1/512...

Wiem, że to jest 1/7, ale jak to rozwiązać przy pomocy tylko kartki i długopisu ?

[wszamol]

Nie wiem czy dobrze Cię zrozumiałem, bo wg mnie już rozwiązałeś to zadanie bez kartki, no ale popatrz:

Czyli 0.001001001... daje to nam 1/8 + 1/64 + 1/512...

zauważ, że te liczby tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ a _{1} = \frac{1}{8}}\) oraz ilorazie \(\displaystyle{ q=\frac{1}{8}}\) . Możemy więc wstawić to do wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ S _{n}= \frac{a _{1}(1-q ^{n} )}{1-q}}\) pamiętając, że mamy nieskończenie wiele wyrazów. Ostatecznie więc otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \frac{1}{8}(1-( \frac{1}{8}) ^{n} )}{1- \frac{1}{8}} = \frac{1}{7}}\)

[vagabond_drv]

Ok, to jeszcze mam pytanie (0011) \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{16}}\)

\(\displaystyle{ a_{1}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\)

i q = \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{ a_{n-1} }}\) , czyli q = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

lim \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{8}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}}}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{4}(1 - (\frac{1}{2})^n)}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) ? Na pewno nie, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) to jest 0.01 bez okresu

[wszamol]

po pierwsze zapisuj to jakoś porządnie, bo ciężko stwierdzić o co CI chodzi. Domyślam się, że mówisz o \(\displaystyle{ (0.(0011)) _{2}}\)

wtedy mamy \(\displaystyle{ a _{1}= \frac{3}{16}}\) oraz \(\displaystyle{ q= \frac{1}{16}}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \frac{3}{16}(1-(\frac{1}{16}) ^{n} )}{1-\frac{1}{16}}= \frac{1}{5}}\)

czyli \(\displaystyle{ (0.(0011)) _{2}=(0.2) _{10}}\)

[vagabond_drv]

A, gdyż cały okres jest jako a1, a nie tylko pierwsza jedynka z (0,0011)

Jeszcze mam pytanie czemu \(\displaystyle{ q= \frac{1}{16}}\) ?

Z góry bardzo dzięki za pomoc

[wszamol]

\(\displaystyle{ 0.\underbrace{0011}_{ \frac{3}{16} }\underbrace{0011}_{ \frac{3}{256} }...}\)

No i teraz z definicji ilorazu ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ \frac{a _{n+1} }{a _{n} } =q}\) czyli w naszym konkretnym przypadku: \(\displaystyle{ \frac{3}{256}:{ \frac{3}{16}= \frac{1}{16}}\)