Będę projektował i pisał (w C) algorytm sekwencyjny i równoległy (z użyciem MPI) obliczający odkształcenie kwadratowej membrany, której boki są sztywno umocowane i nieodkształcone. Membrana jest statyczna. Odkształcenie spełnia równanie Poissona
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}k}{ \partial x^{2}} + \frac{ \partial ^{2}k}{ \partial y^{2}} = \frac{-p}{T}}\)
p-ciśnienie, T-napięcie membrany.
Membrana jest oczywiście podzielona na siatkę która tworzy nxn węzłów.
Rozpiszę z ilorazu różnicowego
\(\displaystyle{ f'=\lim_{h\to\ 0} \frac{f(x_{0} + h) - f(x_{0}) }{h}}\)
obydwa składniki:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}k}{ \partial x^{2}} = \frac{k_{i+1, j} + k_{i-1, j} - 2k_{i, j}}{h^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}k}{ \partial y^{2}} = \frac{k_{i, j+1} + k_{i, j-1} - 2k_{i, j}}{h^{2}}}\)
Po dodaniu wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}k}{ \partial x^{2}} + \frac{ \partial ^{2}k}{ \partial y^{2}} = \frac{k_{i+1, j} + k_{i-1, j} + k_{i, j+1} + k_{i, j-1} - 4k_{i, j}}{h^{2}}}\)
Ja to rozumiem tak że chcąc wyliczyć wartość w danym punkcie, będę zbierał informacje od swoich czterech najbliższych sąsiadów sąsiadów (lewego, prawego, górnego, dolnego) i dzielił przez 4.
Czy będę potrzebował jeszcze jakiegoś algorytmu numerycznego? Mi się wydaje że nie, ale nie jestem pewien. Czy będę potrzebował algorytmu numerycznego do rozwiązywania układu równań liniowych?
Wiem że z równań różniczkowych wychodzą układy równań liniowych ale czy stosując tę metodę wyżej opisaną też będę miał r. liniowe?
Druga sprawa.
Planuję że zrównoleglenie będzie polegało na tym że podzielę obszar membrany na m kwadratowych części, gdzie m jest liczbą procesorów.
Czy algorytm równoległy będzie się znacząco różnił od sekwencyjnego? Nie chodzi mi tu oczywiście o kwestie techniczne związane z przesyłaniem komunikatów między procesorami, ale o to czy będzie się różnił numerycznie od sekwencyjnego.