no to mamy \(\displaystyle{ e^{x}}\)
punkty :
\(\displaystyle{ x \qquad \quad y \\
3,50 \quad 33,115 \\
3,55 \quad 34,813 \\
3,60 \quad 36,598 \\
3,65 \quad 38,475 \\}\)
teraz trzeba policzyć \(\displaystyle{ e^{x}}\) dla \(\displaystyle{ x=3,58}\).
Czyli trzeba zrobić tabelkę różnic:
\(\displaystyle{ x \qquad \quad y \qquad \quad \Delta y0 \quad \Delta^{2} y0 \quad \Delta^{3} y0 \\
3,50 \quad 33,115 \quad 1,698 \quad 0,087 \quad 0,005 \\
3,55 \quad 34,813 \quad 1,785 \quad 0,092 \\
3,60 \quad 36,598 \quad 1,877 \\
3,65 \quad 38,475 \\}\)
Tableka jest stworzona w myśl zasady iż od iksa z ideksem i jest odejmowany iks z indeksem i-1 tak uzykujemy pierwszą kolumnę i z niej następne aż do momentu kiedy będziemy mieli pojedynczy wynik.
Mamy wzór interpolacyjny Newtona :
\(\displaystyle{ W(x)=y0+ \frac{\Delta y0}{1!*h}(x-x0)+ \frac{\Delta^{2}y0}{2!*h^{2}}(x-x0)(x-x1)+ \frac{\Delta^{3}y0}{3!*h^{3}}(x-x0)(x-x1)(x-x2)+...+ \frac{\Delta^{n}y0}{n!*h}(x-x1)...(x-x(n-1))}\)
to "(n-1)" to nie jest mnożenie lecz indeks iksa tylko nie wiem jak się robi w Latexie żeby pisał na dole.
\(\displaystyle{ h=x1-x0}\)
skoro mamy obliczyć \(\displaystyle{ x=3,58}\) to wystarczy podstawić do wzoru.
\(\displaystyle{ W(3,58)=33,115+ \frac{1,698}{2!*0,05}(3,58-3,50)+ \frac{0,087}{3!*0,05^{2}}(3,58-3,50)(3,58-3,55)+ \frac{0,005}{4!*0,05^{3}}(3,58-3,50)(3,58-3,55)(3,58-3,50)}\)
Wynik wynosi tyle 35,83180026.
Teraz powinno się obliczyć błąd z wzorku:
\(\displaystyle{ \left| Rn(x0+qh)\right| \le max \ \varepsilon \in <x0,xn> \left|f ^{n+1}(\varepsilon) \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}q(q-1)...(q-n)\right|}\)
Tylko nijak nie wiem jak go obliczyć
I pytanie ogólne czy ja wogóle to dobrze liczę??