Wyznacznik macierzy 7-ego stopnia

[foszmat]

Witam serdecznie,

proszę o pomoc jak dokładnie wyliczyć wyznacznik macierzy siódmego stopnia. Poniżej podaję przykład macierzy. Zaznaczę też, że jest to potrzebne do napisania algorytmu w JAVIE (z czym sobie już dalej poradzę). Będę wdzięczny za przedstawienie jasnego i jednolitego sposobu wyliczenia wyznacznika dla takich macierzy.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccccc}1&-3&9&-27&81&-243&729\\1&-2&4&-8&16&-32&64\\1&-1&1&-1&1&-1&1\\1&2&4&8&16&32&64\\1&4&16&64&256&1024&4096\\1&6&36&216&1296&7776&46656\\1&8&64&512&4096&32768&262144\end{array}\right]}\)

[rtuszyns]

Skorzystaj z rozwinięcia Laplace'a. Obliczysz tym sposobem wyznacznik z każdej macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\). Da się tą metodę zaprogramować operując tablicami...

Zobacz tu:
[ciach]

[abc666]

foszmat, jeśli wszystkie macierze mają mieć w wierszach kolejne potęgi liczb to poczytaj o wyznaczniku Vandermonde'a

[rtuszyns]

Zgadza się. Zajrzyj do Wikipedii:

[foszmat]

Dzięki za podpowiedź, rzeczywiście akurat ta macierz ma w wierszach kolejne potęgi liczb i nie wiedziałem, że istnieje wyznacznik Vandermonde'a. Jak coś "zgotuję" to dam znać.

-- 8 lis 2010, o 20:01 --

No i znowu troszkę się zaciąłem przy pisaniu. Może napiszę od początku o co mi chodzi:

mamy za zadanie napisać w dowolnym języku programowania (ja akurat w JAVIE) programik, który wyznaczy funkcję interpolującą za pomocą wielomianów. Czyli, mając zbiór punktów x,y (w moim przypadku 7) zrobiliśmy w programie Mathematica to tak, że macierz X to macierz podana przeze mnie w pierwszym poście (czyli kolejne potęgi kolejnych siedmiu współrzędnych x), macierz Y to macierz utworzona z współrzędnych y i dalej szukana jest macierz A (a w zasadzie jej wartości) korzystając ze wzoru X*A=Y. Mając wartości macierzy A jesteśmy w stanie określić wzór funkcji interpolującej. W Mathematice wygląda to pięknie bo definiujemy macierze, potem funkcja Solve[] i na koniec Plot[]...

No i teraz pytanie jak to zrobić najkrótszą drogą w JAVIE?

Mój pierwszy pomysł skłaniał się do wyznaczenia kolejnych wartości macierzy A z wykorzystaniem metody Cramera (obliczanie wyznaczników i z nich po kolei wartości macierzy A). Pierwszy wyznacznik to wyznacznik podstawowej macierzy X, który obliczam ze wzoru na wyznacznik Vandermonde'a... I tu już zaczynają się schody bo sam ten wyznacznik wynosi: 9.656672256E12. Jak dla mnie albo coś tu nie gra albo idę złą drogą.

Proszę o ew. podpowiedzi jak i co dalej robić...

[Mariusz M]

Oto masz kod źródłowy programów do liczenia wyznacznika
napisane w C (zgodne z GCC)

Ukryta treść:    

Kod: Zaznacz cały

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>

/*
Obliczanie wyznacznika metodą eliminacji Gaussa
*/

double det(int n,double** a);

int main(){
char ch;
int i,j,n;
double** a;
do{
printf("Podaj n=");
scanf("%d",&n);

a=(double**)malloc((n+1)*sizeof(double));
for(i=1;i<=n;i++)
a[i]=(double*)malloc((n+1)*sizeof(double));

for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
printf("A[%d][%d]=",i,j);
scanf("%lf",&a[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("det(A)=%lf\n",det(n,a));
for(i=1;i<=n;i++)
free(a[i]);
free(a);
ch=getch();
}
while (ch!=27);
return 0;
}

double det(int n,double** a){
int i,j,k,wm;
double p,w=1.0,max;
for (i=1;i<n;i++){
  max=fabs(a[i][i]);
	wm=i;
for(j=i+1;j<=n;j++)
  if(fabs(a[j][i])>max){
	max=fabs(a[j][i]);
	wm=j;
  }
 if(wm>i) {
  for(k=i;k<=n;k++){
	p=a[i][k];
  a[i][k]=a[wm][k];
a[wm][k]=p;
  }
 w*=-1;
 }
 if (a[i][i]==0) w=0;
 if (w!=0)
 for(j=i+1;j<=n;j++){
	p=(double)a[j][i]/a[i][i];
  for(k=n;k>i;k--)
  a[j][k]-=p*a[i][k];
 }
 w*=a[i][i];
 }
 w*=a[n][n];
 return w;
}

Ukryta treść:    

Kod: Zaznacz cały

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>

#define TINY 1.0e-15

/*
Obliczanie wyznacznika metodą rozkładu LU=PA
*/

void ludcmp(double** a,int n,int* indx,double* d);

int main(){
char ch;
int i,j,n;
int* indx;
double det;
double **a;
do{
printf("Podaj n=");
scanf("%d",&n);
a=(double**)malloc((n+1)*sizeof(double));
for(i=0;i<n+1;i++)
a[i]=(double*)malloc((n+1)*sizeof(double));
indx=(int*)malloc((n+1)*sizeof(int));
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
printf("A[%d][%d]=",i,j);
scanf("%lf",&a[i][j]);
}
printf("\n");
}
ludcmp(a,n,indx,&det);
for(i=1;i<=n;i++) det*=a[i][i];
printf("det A=%lf\n",det);
for(i=0;i<n+1;i++)
free(a[i]);
free(a);
free(indx);
ch=getch();
}
while(ch!=27);
return 0;
}

void ludcmp(double** a,int n,int* indx,double* d){
int i,imax,j,k;
double big,dum,sum,temp;
double *vv;
vv=(double*)malloc((n+1)*sizeof(double));
(*d)=1.0;
for(i=1;i<=n;i++){
  big=0.0;
  for(j=1;j<=n;j++)
  if((temp=fabs(a[i][j]))>big) big=temp;
  if(big==0.0){
  (*d)=0.0;
  return;
  }
  vv[i]=1.0/big;
  }
  for(j=1;j<=n;j++){
   for(i=1;i<j;i++){
   sum=a[i][j];
   for(k=1;k<i;k++) sum-=a[i][k]*a[k][j];
   a[i][j]=sum;
   }
   big=0.0;
   for(i=j;i<=n;i++){
   sum=a[i][j];
   for(k=1;k<j;k++)
    sum-=a[i][k]*a[k][j];
	a[i][j]=sum;
	if((dum=vv[i]*fabs(sum))>=big){
	 big=dum;
	 imax=i;
	 }
	 }
	 if(j!=imax){
	 for(k=1;k<=n;k++){
	 dum=a[imax][k];
	 a[imax][k]=a[j][k];
	 a[j][k]=dum;
	 }
	 (*d)=-(*d);
	 vv[imax]=vv[j];
	 }
	 indx[j]=imax;
	 if(a[j][j]==0) a[j][j]=TINY;
	 if(j!=n){
	  dum=1.0/(a[j][j]);
	  for(i=j+1;i<=n;i++) a[i][j]*=dum;
	 }
}
free(vv);
}

No tak jeżeli to ma być wyznacznik Vandermonde'a
to można tak napisać tę funkcję aby jej złożoność była kwadratowa