Metody numeryczne- wielomian Hermite'a

[julia883]

Cześć,
Mam problem z 2 zadaniami z MN.
Zad.1
Niech \(\displaystyle{ f(x) = |x|^3 + ax^4}\) gdzie \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\). Wyznacz postać Newtona wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a \(\displaystyle{ p(x)}\) t.że \(\displaystyle{ p(-k) = f(-k)}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4}\).

Zad.2
Wyznacz wielomian interpolacyjny Hermite'a \(\displaystyle{ p(x)}\) t.że
\(\displaystyle{ p(0)=f(0)=-1, \quad p(-1)=0\\
p(1)=f(1)=0\\
p'(1)=f'(1)=4, \quad f''(1)=p''(1)=12}\)

Przeczytałam rozdział dot. interpolacji w Fortunie, ale nie znalazłam tam żadnego podobnego zadania

Będę wdzięczna za jakąkolwiek instrukcję: albo gdzie znaleźć rozwiązanie podobnego zadania, albo instrukcję jak te 2 rozwiązać.

Z góry dziękuję : )

[szw1710]

Kincaid, Chenney, Analiza numeryczna, WMT, W-wa 2006, str. 322, jeśli chodzi o zad. 2, a 299, jeśli chodzi o zad. 1.

Zadanko jest bardzo proste do zrobienia po przegryzieniu się przez oznaczenia i złapaniu idei. Niestety, niezmiernie trudne do zapisania w LaTeX'u (wykonalne, ale dość długie). Tłumaczyć sprawy na forum nie za bardzo chcę się podjąć - za dużo pisania (może ktoś jest innego zdania )

Odpowiedź do zad. 2: \(\displaystyle{ p(x)=x^4-1}\)

Odpowiedź do zad. 1 (o ile się nie machnąłem w rachunkach )

\(\displaystyle{ p(x)=(1+a)x+(3+7a)x(x-1)+(1+6a)x(x-1)(x-2)+ax(x-1)(x-2)(x-3)}\)

Nie chce mi się dalej liczyć

W obu przypadkach chodzi o wyznaczenie tzw. różnic dzielonych (uogólnionych ilorazów różnicowych, divided differences). W zad. 1 są to zwykłe różnice dzielone, a w zadaniu 2 zawierającym węzły wielokrotne liczy się je w pewnych przypadkach nieco inaczej jak zwykłe używając pochodnych. Wspaniałe wprowadzenie (niestety po angielsku) zawiera książka de Boora A practical guide to splines - zobacz w Google Books: (początkowy rozdział, str. 3 i dalsze). Interpolację Hermite'a nazywa się tu osculatory interpolation.

[julia883]

Ślicznie dziękuję za te bezcenne informacje ! Ściągnęłam sobie tą książkę i obczaiłam jak się liczy te ilorazy różnicowe, i zadanie 1 wyszło mi tak samo !!! )) A za drugie się dopiero zabieram.

-- 26 lip 2010, o 20:17 --

Nie idzie mi ten Hermite

Na stronie 320 w książce Analiza numeryczna są podane takie wzory:

\(\displaystyle{ f(x_0)=a, \ f'(x_0)=b \\
f(x_1)=a+bh+ch^2 , \ f'(x_1)=b+2ch+dh^2}\) gdzie \(\displaystyle{ h=x_1-x0}\)
i jest zadanie 6.3.1, żeby znaleźć wielomian p t.że \(\displaystyle{ p(0)=0, \ p(1)=1}\) i \(\displaystyle{ p'\left( \frac{1}{2} \right) =2}\)
no i wyszło, że \(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ 1=p(1)=b+c}\)

ale skąd się wzięło, że \(\displaystyle{ 2=p'\left( \frac{1}{2} \right) =b+c}\) ???? i czy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to jest \(\displaystyle{ x_0}\) czy \(\displaystyle{ x_1}\)? do któregokolwiek wzoru bym tego nie podstawiła, to mi nie wyjdzie, że \(\displaystyle{ p'\left( \frac{1}{2} \right) =b+c}\) tylko albo \(\displaystyle{ b=2}\) albo \(\displaystyle{ 2=b+c+ \frac{1}{4} d}\)