Momenty bezwladnosci - wyprowadzenie

[Jumparround]

Jak wyprowadzic wzory na momenty bezwladnosci


-preta z osia obrotu prostopadla do niego na jego koncu
-preta z osia obrotu prostopadla do niego na jego srodku
-walca pustego bez denkek (rury) z osia obrotu przechodzaca przez srodek rury rownolegle do jej scian
-walca pustego z denkami z osia obrotu przechodzaca przez srodek denek
-sfery z osia obrotu przechodzaca pzez jej srodek

uzywajac caleczek oznaczonych? z gory dzieki

[Lmi]

Pręta z osią obrotu prostopadłą do niego na jego końcu

Korzystasz tu z Twierdzenie Steinera, które brzmi \(\displaystyle{ I=I_{0}+md^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ I_{0}}\) to moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, a d odległość osi obrotu równoległej do osi obrotu w środku masy.

Wzór na \(\displaystyle{ I_{0}}\) pręta to: \(\displaystyle{ \frac{ml^{2}}{12}}\)
więc:

\(\displaystyle{ I=\frac{ml^{2}}{2} + \frac{ml^{2}}{4}}\) bo \(\displaystyle{ d=\frac{l}{2}}\)

Pręta z osią obrotu prostopadłą do niego na jego środku

Jak dokładnie wyprowadzić to nie powiem ale ten wzór ma postać:
: \(\displaystyle{ I_{0}=\frac{ml^{2}}{12}}\)

Walca pustego bez denek (rury) z osią obrotu przechodzącą przez środek rury równolegle do jej ścian

cienkościenna: : \(\displaystyle{ I_{0}=mR^{2}}\)
o różnych promieniach: \(\displaystyle{ I_{0}=\frac{m(R^{2}+r^{2})}{2}}\)

Walca pustego z denkami z osią obrotu przechodzącą przez środek denek
\(\displaystyle{ I_{0}=\frac{mR^{2}}{2}}\)

Sfery z osią obrotu przechodzącą przez jej środek

\(\displaystyle{ \frac{2mR^{2}}{3}}\)

[Jumparround]

Wzory juz znam. Sa zreszta nawet na wikipedii Potrzebne mi wyprowadzenie. dla przykladu podam dla walca pelnego:

\(\displaystyle{ \rho - gestosc

V - objetosc

m - masa

h - wysokosc


t r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho t r^{2} dr r d\phi dh=\rho t_{0}^{r} r^{3} dr t_{0}^{2\Pi} d\phi t_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r ^{4} 2\Pi h=\frac{1}{2}mr ^{2}}\)

[Wasilewski]

No to kulę pełną dzielimy na walce, których moment bezwładności znamy:
\(\displaystyle{ \rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \\
r = \sqrt{R^2 - x^2} \\
2 t_{0}^{R} \rho \pi r^2 \frac{1}{2} r^2 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3} t_{0}^{R} R^4 - 2R^2 \ x^2 + x^4 dx = \frac{M}{\frac{4}{3} R^3} (R^5 - \frac{2R^5}{3} + \frac{R^5}{5}) = \frac{3M}{4R^3} \frac{8R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2}\)

[Lmi]

Na jednorodny pręt wględem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek masy

Przyjmijmy, że wzór na moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec ma postać:
\(\displaystyle{ I=kml^{2}}\) gdzie k to bezwymiarowy współczynnik (1.0).

Moment bezwładności \(\displaystyle{ I_{0}}\) pręta względem osi przechodzącej przez środek masy można przedstawić jako sumę momentów bezwładności jego połówek względem osi przechodzących przez ich końce:
\(\displaystyle{ I_{0}=\frac{2km}{2}(\frac{l}{2})^{2}}\)(1.1)
Ale zgodnie z twierdzeniem Steinera:

\(\displaystyle{ I=m(\frac{l}{2})^{2}+I_{0}=\frac{ml^{2}}{4}+\frac{kml^{2}}{4}}\)(1.2)

Przyrównując prawe strony równości (1.0) i (1.2), mamy, że \(\displaystyle{ k=\frac{1+k}{4}}\)\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)\(\displaystyle{ k=\frac{1}{3}}\)
Korzystając ze wzoru (1.1). otrzymujemy, że moment bezwładności pręta jest wyrażony za pomocą wzoru:
\(\displaystyle{ I_{0}=\frac{ml^{2}}{12}}\)

[stypa]

pret
dmi=(m/l)*dV
2*\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{l/2}}\)\(\displaystyle{ r^{2}}\)*(m/l)*dv
to jest z osia wsrodku jak chce z osia na koncu to granice bede od 0 do l i bez 2 na poczatku
Walec z denkami moment bezwladnosci walca+2*moment bezwladnosci denek czyli okregu

[Wasilewski]

A jednak o sferę było pytanie. Zatem tak:
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{M}{4\pi R^2} \\
r = Rcos\alpha \\
dS = 2\pi r \ R d\alpha \\
I = 2 t_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sigma 2 \pi R cos\alpha R^2 cos^2\alpha R d\alpha = MR^2 t_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^{3}\alpha d\alpha \\
t = sin\alpha \ \ dt = cos\alpha d\alpha \\
I = MR^2 (sin\frac{\pi}{2} - \frac{sin^{3}\frac{\pi}{2}}{3}) = \frac{2}{3} MR^2}\)

[Natalia__K]

Czy mógłbyś ktoś pomóc mi wyprowadzić wzór na moment bezwładności rury? Wiem, jaki będzie wzór końcowy, ale nie potrafię go wyprowadzić.

[Wasilewski]

Rury w sensie powierzchni bocznej cienkościennego walca? Jeśli tak to zauważ, że każdy punkt jest odległy od osi o R stąd ten moment bezwładności to:
\(\displaystyle{ I = MR^2}\)

[Natalia__K]

Rzecz w tym, że chodzi o rurę grubościenną.

[Wasilewski]

Czyli o to co jest zamknięte dwoma powierzchniami walca o promieniach \(\displaystyle{ R_1 \ i \ R_2}\), jeśli dobrze rozumiem. No to najpierw gęstość:
\(\displaystyle{ \rho = \frac{M}{\pi (R_2^2 - R_1^2) H} \\
dM = \rho dV \\
dV = 2\pi r H dr \\
I = t_{R_1}^{R_2} r^2 \rho dV = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2}\int_{R_1}^{R_2} r^3 dr = \frac{2M}{R_2^2 - R_1^2} \frac{1}{4} (R_2^4 - R_1^4) \\ = \frac{M}{2(R_2^2 - R_1^2)} (R_2^2 + R_1^2)(R_2^2 - R_1^2) = \frac{M(R_1^2 + R_2^2)}{2}}\)

[Natalia__K]

Rozumiem, dziękuję.

[arikadiusz]

Wzory juz znam. Sa zreszta nawet na wikipedii Potrzebne mi wyprowadzenie. dla przykladu podam dla walca pelnego:

\(\displaystyle{ \rho - gestosc

V - objetosc

m - masa

h - wysokosc


t r_{i} ^{2} dm _{i}=\int r ^{2} \rho dV=

=\rho t r^{2} dr r d\phi dh=\rho t_{0}^{r} r^{3} dr t_{0}^{2\Pi} d\phi t_{0}^{h} dh=\frac{m}{2\Pi r^{2}h}\frac{1}{4} r ^{4} 2\Pi h=\frac{1}{2}mr ^{2}}\)

wiek ktos czy da sie to wyprowadzic nie uzywajac calek potrojnych?

[Wasilewski]

Pewnie, że się da. Walec możemy podzielić na nieskończoną ilość walców cienkościennych. Gęstość walca to:
\(\displaystyle{ \rho = \frac{M}{\pi R^2 h}}\)
Zatem masa walca cienkościennego to:
\(\displaystyle{ dm = \frac{M}{\pi R^2 h} 2 \pi r dr h = \frac{2M}{R^2 } r dr}\)
Z tego moment bezwładności takiego walca to:
\(\displaystyle{ dI = r^2 dm = \frac{2M}{R^2} r^3 dr}\)
Całkowity moment bezwładności możemy znaleźć sumując momenty bezwładności cienkościennych walców:
\(\displaystyle{ I = t_{0}^{R} \frac{2M}{R^2} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} t_{0}^{R} r^3 dr = \frac{2M}{R^2} \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} MR^2}\)

[arikadiusz]

dzienx, powiedz mi jeszcze jak mozesz da sie wyprowadzic dla pretu podobnie, jesli tak to jak?( noga jestem z fizyki i nie rozumie roznicy miedzy pretem a walcem, jak dla mnie to to samo, a wzory inne...)