Ruch względny

[Euklidess_PL]

W załączniku jest zadanie, nie chodzi o jego rozwiązanie bo to nie problem. Natomiast chodzi mi o rysunek wektorów. Dlaczego wektor \(\displaystyle{ \vec{V s,p} }\) o takim kierunku jest wektorem prędkości samolotu względem prędkości powietrza a nie ziemi ? Pokusmy sie o analogie do rysunku ukkladu wektorów po prawej stronie. Przyjmijmy że ziemia jest nie ruchoma i punkt S oznacza jakiś punkt startowy na ziemi. Wektor \(\displaystyle{ \vec{Rs',s} }\) to wektor \(\displaystyle{ \vec{Vs,z} }\) a wektor\(\displaystyle{ \vec{Vp,z}}\) to wektor \(\displaystyle{ \vec{Rp,s'}}\) jak wiemy wektor \(\displaystyle{ \vec{Rp,s}}\) (na rysunku po prawie) to wektor przemieszczenia pkt P względem punktu S wiec analogicznie wektor o kierunku \vec{Vs,p} powinien być wektorem prędkości samolotu ale względem ziemi a nie powietrza , dlaczego więc wektor \(\displaystyle{ \vec{Vp,z}}\) to wektor prędkości samolotu względem powietrza a nie ziemi ?

[matmatmm]

jak wiemy wektor \(\displaystyle{ \vec{Rp,s}}\) (na rysunku po prawie) to wektor przemieszczenia pkt P względem punktu S

Według mnie wektor \(\displaystyle{ \vec{R}_{P,S}}\) to wektor przemieszczenia samolotu względem powietrza (te oznaczenia na rysunku po prawej są dla mnie niezrozumiałe). Stąd wektor \(\displaystyle{ \vec{V}_{S,P}}\) jest wektorem prędkości samolotu względem powietrza, tak jak sugeruje autor.

[janusz47]

Jaki układ odniesienia przyjęto ?

[matmatmm]

janusz47, na rysunku po lewej przyjęto układ związany z Ziemią, w którym oś pionowa to kierunek północny (środek układu nie ma znaczenia, bo mowa o wektorach prędkości).

[janusz47]

Euklidess_PL

Nie można mylić diagramu wektorów wodzących dwóch przemieszczających się względem siebie układów rys.4.25 (i przyjmować przedkopernkowskie założeżenia, że Ziemia jest nieruchoma) z diagramem prędkości samolotu 4.29 w układzie odniesienia związanym z Ziemią.
Są to dwa różne diagramy.

Zarówno jeden jak i drugi diagram są poprawne - w podręczniku OPENSTAX FIZYKA TOM 1.

Czy potrafi Pan obliczyć wartość prędkości samolotu względem Ziemi \(\displaystyle{ \vec{V}_{SZ} }\), stąd miarę kąta \(\displaystyle{ \theta ? }\)

Podejrzewam, że o to Panu chodzi ?

[Euklidess_PL]

jak wiemy wektor \(\displaystyle{ \vec{Rp,s}}\) (na rysunku po prawie) to wektor przemieszczenia pkt P względem punktu S

Według mnie wektor \(\displaystyle{ \vec{R}_{P,S}}\) to wektor przemieszczenia samolotu względem powietrza (te oznaczenia na rysunku po prawej są dla mnie niezrozumiałe). Stąd wektor \(\displaystyle{ \vec{V}_{S,P}}\) jest wektorem prędkości samolotu względem powietrza, tak jak sugeruje autor.

Rysunek po prawej stronie jest takim ogólnym wzorcem, zresztą z tej samej książki. Przyjąłem że punt S na rysunku po prawej odpowiada jakiemuś punktowi startowego na ziemi z którego to punktu startował samolot, nie rozumiem czmu wektor Vp.s to wektor prędkości względem powietrza

Dodano po 5 godzinach 19 minutach 40 sekundach:

Euklidess_PL

Nie można mylić diagramu wektorów wodzących dwóch przemieszczających się względem siebie układów rys.4.25 (i przyjmować przedkopernkowskie założeżenia, że Ziemia jest nieruchoma) z diagramem prędkości samolotu 4.29 w układzie odniesienia związanym z Ziemią.
Są to dwa różne diagramy.

Zarówno jeden jak i drugi diagram są poprawne - w podręczniku OPENSTAX FIZYKA TOM 1.

Czy potrafi Pan obliczyć wartość prędkości samolotu względem Ziemi \(\displaystyle{ \vec{V}_{SZ} }\), stąd miarę kąta \(\displaystyle{ \theta ? }\)

Podejrzewam, że o to Panu chodzi ?

Wpierw należy obliczyć pionową składową wektora prędkości powietrza, jeśli znamy jej wartość 63,64 km/h to od prędkości samolotu odejmujemy 63,64 i wychodzi prędkość samolotu po uwzględnieniu prędkości wiatru. Kąt między wektorami łatwo znaleźć można wykorzystując wzory trygonometryczne np funkcje sin(x). Chodzi mi o to że nie wiem dlaczego wektor Vs.p jest wektorem predkości samolotu względem powietrza.

[janusz47]

Jeśli popatrzymy na diagram prędkości rys. 4.29 to co z niego wynika ?

Wektor prędkość samolotu względem Ziemi (przyjętego układu odniesienia) \(\displaystyle{ \vec{V}_{SZ} }\) jest równy sumie wektorów: prędkości samolotu względem powietrza \(\displaystyle{ \vec{V}_{SP}}\) i prędkości powietrza względem Ziemi \(\displaystyle{ \vec{V}_{PZ}. }\)

Jak obliczamy długość wektora \(\displaystyle{ \vec{V}_{SZ} ?}\)

\(\displaystyle{ |\vec{V}_{SZ}|= \ \ ... }\)

[matmatmm]

Rysunek po prawej stronie jest takim ogólnym wzorcem, zresztą z tej samej książki. Przyjąłem że punt S na rysunku po prawej odpowiada jakiemuś punktowi startowego na ziemi z którego to punktu startował samolot, nie rozumiem czmu wektor Vp.s to wektor prędkości względem powietrza

Zostawmy rysunek po prawej (który według mnie jest niepoprawny) i zastanówmy się czym jest wektor prędkości samolotu względem powietrza. Otóż należy najpierw znaleźć wektor przemieszczenia samolotu względem powietrza (w układzie odniesienia związanym z Ziemią). Samolot przemieścił się w jednostce czasu (dla uproszczenia równej \(\displaystyle{ 1\mathrm{h}}\)) o \(\displaystyle{ 300 \mathrm{km}}\) na północ, a w tym samym czasie powietrze o \(\displaystyle{ 90 \mathrm{km}}\) na południowy wschód (można myśleć o dowolnym jednym punkcie w powietrzu). Zmiana położenia samolotu względem powietrza jest różnicą wektorów \(\displaystyle{ \vec{r}_S^{\star}-\vec{r}_P^{\star}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{r}_S-\vec{r}_P}\), gdzie

\(\displaystyle{ \vec{r}_S^{\star}}\) - położenie samolotu na początku
\(\displaystyle{ \vec{r}_P^{\star}}\) - położenia pewnego punktu w powietrzu na początku
\(\displaystyle{ \vec{r}_S}\) - położenie samolotu na końcu
\(\displaystyle{ \vec{r}_P}\) - położenia tego samego punktu w powietrzu na końcu

Odchodząc od założenia, że dzieje się to w jednostce czasu i traktując \(\displaystyle{ \vec{r}_S}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{r}_P}\) jako funkcje czasu, zmiana położenia samolotu względem powietrza w chwili \(\displaystyle{ t}\) wynosi

\(\displaystyle{ \vec{r}_S(t)-\vec{r}_P(t)-(\vec{r}_S^{\star}-\vec{r}_P^{\star})}\)

Prędkość samolotu względem powietrza to pochodna tego wyrażenia po czasie, więc wynosi dokładnie \(\displaystyle{ \vec{v}_S-\vec{v}_P}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{v}_S}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{v}_P}\) to wektory prędkości odpowiednio samolotu i powietrza względem ziemi.

[siwymech]

Moim zdaniem trzeba tu znać i wykorzystać teorię ruchu złożonego
Pojęcie prędkości bezwzględnej- absolutnej-\(\displaystyle{ v _{b} }\),
Pojęcie prędkości względnej- \(\displaystyle{ v _{w} }\),
Pojęcie prędkości unoszenia -\(\displaystyle{ v _{u} }\)
...................................................
1 . Zależność między wektorami prędkości w ruchu złożonym
\(\displaystyle{ \vec{ v _{b}}= \vec { v _{w} }+ \vec{ v _{u} } }\), (1)
/ Suma wektorowa. Wypadkowy wektor \(\displaystyle{ \vec v _{B} }\) otrzymujemy łącząc początek pierwszego wektora z końcem ostatniego./
2.Przyjmujemy dwa układy odniesienia :układ ruchomy i nieruchomy związany z ziemią.
3.Wybieramy dowolny punkt na samolocie i rozpatrujemy jego ruch złożony otrzymując zależność na
prędkość bezwzględną opartą na zależności (1)
\(\displaystyle{ \vec{v _{s,z}} = \vec{v _{s, p}} +\vec{v _{(s+p),z}} }\), (2)
/wektor wypadkowy \(\displaystyle{ \vec{v _{s,z}}}\), jako suma dwóch składowych wektorów/
\(\displaystyle{ \vec{v _{(s+p),z}}}\), prędkość unoszenia. Prędkość wybranego punktu P na samolocie sztywnie związanego z układem ruchomym(powietrzem) względem układu nieruchomego (z)- Ziemia.
4. Ruch punktu może być opisany wektorowo poprzez tkzw. promienie wodzące.
Opisanie położenia punktu P poprzez wektory -promienie w układzie nieruchomym \(\displaystyle{ ( S,x,y)}\) i ruchomym \(\displaystyle{ (S', x',y')}\).
Niech punkt P porusza się układzie ruchomym \(\displaystyle{ (S', x',y')}\).
Wprowadzamy wektor - promień \(\displaystyle{ \vec {r _{P,S}} }\) położenia punktu P w układzie nieruchomym, wektor- promień \(\displaystyle{ \vec{r _{P,S'}} }\) punktu P w układzie ruchomym i wektor - promień \(\displaystyle{ \vec {r _{S',S}} }\) położenia początku ruchomego układu współrzędnych.
Położenie punktu P w obu układach określa równanie wektorowe
\(\displaystyle{ \vec {r _{P,S}}=\vec{r _{P,S'}} +\vec {r _{S',S}} }\), (3)
/ Suma wektorowa. Wypadkowy wektor \(\displaystyle{ \vec {r _{P,S}} }\) otrzymujemy łącząc początek pierwszego wektora z końcem ostatniego.
Mając wektorowy opis ruchu punktu można wyznaczyć jego prędkość( pochodna wektora promienia wodzącego względem czasu/
.................................

[janusz47]

Pierwszy sposób rozwiązania zadania proponowany w podręczniku.

Wartość współrzędnych wektora prędkości powietrza względem Ziemi:

\(\displaystyle{ |\vec{V}_{PZx}| = |\vec{V}_{PZ}|\cdot \cos(45^{o})= 90\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \frac{km}{h} = 45\cdot \sqrt{2} \ \ \frac{km}{h} \approx 63,64 \ \ \frac{km}{h}. }\)

\(\displaystyle{ |\vec{V}_{PZy}| = |\vec{V}_{PZ}|\cdot \sin(45^{o})= 90\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \frac{km}{h} = 45\cdot \sqrt{2} \ \ \frac{km}{h} \approx 63,64 \ \ \frac{km}{h}. }\)

Z trójkąta wektorów prędkości rys. 4.29

\(\displaystyle{ (|\vec{V}_{SZ}|+|\vec{V}_{PZy}|)^2 + |\vec{V}_{PZx}|^2 = |\vec{V}_{SP}|^2, }\)

obliczamy długość wektora prędkości samolotu względem Ziemi:

\(\displaystyle{ |\vec{V}_{SZ}|= \sqrt{|\vec{V}_{SP}|^2-|\vec{V}_{PZx}|^2}-|\vec{V}_{PZy}|= \sqrt{300^2-(45\sqrt{2})^2}- 45\sqrt{2} \approx 230\frac{km}{h}.}\)

Miarę kąta \(\displaystyle{ \theta }\) liczoną od kierunku pólnocnego, obliczamy za pomocą funkcji arkus tangens

\(\displaystyle{ tg(\theta) = \frac{|\vec{V}_{PZx}|}{|\vec{V}_{PZ}|} = \frac{63,64}{300} \approx 0, 2121}\)

\(\displaystyle{ \theta = \arctg(0,2121) \approx 12^{o}.}\)

Drugi sposób rozwiązania zadania, wykorzystując twierdzenie kosinusów (Carnota)

Z diagramu wektorów prędkośći rys. 4.69 wynika równanie kosinusów

\(\displaystyle{ |\vec{V}_{PZ}|^2 =|\vec{V}_{SZ}|^2 + |\vec{V}_{SP}|^2 - 2|\vec{V}_{SZ}|\cdot |\vec{V}_{SP}|\cdot \cos(\theta). }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \cos(\theta) = \frac{|\vec{V}_{SZ}|^2+ |\vec{V}_{PZ}|^2}{2|\vec{V}_{SZ}|\cdot |\vec{V}_{SP}|}.}\)

\(\displaystyle{ \cos(\theta) = \frac{230^2+300^2 - 90^2}{2\cdot 230\cdot 300} \approx 0,9768. }\)

\(\displaystyle{ \theta = \arccos(0,9768) \approx 12^{o}.}\)

[Euklidess_PL]

janusz47 - umiem to obliczyć tylko nie wiedziałem dlaczego naDlaczego wektor
→
V s,p o takim kierunku jest wektorem prędkości samolotu względem prędkości powietrza a nie ziemi .

matmatmm
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \vec{r}_S(t)-\vec{r}_P(t)-(\vec{r}_S^{\star}-\vec{r}_P^{\star})}}\) da sie jakos wykazac udowodnic na rysunku ?

siwymech : Wlasnie chcialem to sobie wytlumaczyc wykorzystując metode ruchu względnego, rysunek po prawej stronie w pierwszym poscie to wlasnie przedstawia. Co to jest za wektor \(\displaystyle{ \vec{v _(s+p),z}}\) ? Jak to na rysunku pokazac ?
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \vec{v _{s,z}} = \vec{v _{s, p}} +\vec{v _{(s+p),z}} }}\)

Rozumiem że wektor predkosci samolotu względem powietrza to pochodna wektora odleglosci (punktu samolotu od punktu powietrza) po czasie tak ?

Dodano po 57 minutach :
janusz47 - umiem to obliczyć tylko nie wiedziałem dlaczego naDlaczego wektor
→
V s,p o takim kierunku jest wektorem prędkości samolotu względem prędkości powietrza a nie ziemi .

matmatmm
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \vec{r}_S(t)-\vec{r}_P(t)-(\vec{r}_S^{\star}-\vec{r}_P^{\star})}}\) da sie jakos wykazac udowodnic na rysunku ?

siwymech : Wlasnie chcialem to sobie wytlumaczyc wykorzystując metode ruchu względnego, rysunek po prawej stronie w pierwszym poscie to wlasnie przedstawia. Co to jest za wektor \(\displaystyle{ \vec{v _(s+p),z}}\) ? Jak to na rysunku pokazac ?
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \vec{v _{s,z}} = \vec{v _{s, p}} +\vec{v _{(s+p),z}} }}\)

Rozumiem że wektor predkosci samolotu względem powietrza to pochodna wektora odleglosci (punktu samolotu od punktu powietrza) po czasie tak ?
[/quote]

Wstawilem załącznik do nowego zadania z łódką, rozumiem ze prędkosc V1 to predkosc wzgledna miedzy wodą a łódką a szukana predkosc V to predkosc miedzy brzegiem ziemi a łódką ?