Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu

Ruch prostoliniowy, po okręgu, krzywoliniowy. rzuty. Praca, energia i moc. Zasady zachowania.
qui123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 27 lis 2021, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu

Post autor: qui123 »

Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ R=4\,m}\), zgodnie z równaniem \(\displaystyle{ s(t)=A+Bt+Ct^2, A=10\,m, B= -2\,\frac{m}{s}, C= 1\,\frac{m}{s^2}.}\) Dla \(\displaystyle{ t=2\,s}\) wyznaczyć:
a. kąt \(\displaystyle{ φ(t)}\) zakreślony przez punkt,
b. prędkość liniową \(\displaystyle{ v(t)}\) i kątową \(\displaystyle{ ω(t)}\)
c. przyspieszenie kątowe
d. przyspieszenie styczne \(\displaystyle{ a_s}\)
e. przyspieszenie normalne \(\displaystyle{ a_n}\)
f. przyspieszenie całkowite
wykonać rysunki
Ostatnio zmieniony 27 lis 2021, o 19:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu

Post autor: janusz47 »

Podstawiamy wartości współczynników \(\displaystyle{ A, B, C }\) do równania drogi \(\displaystyle{ s(t).}\)

Obliczamy długość drogi \(\displaystyle{ s(t) }\) dla czasu \(\displaystyle{ t = 2 s. }\)

a.
Z miary łukowej obliczamy miarę kąta \(\displaystyle{ \phi }\) w radianach.

\(\displaystyle{ s = \phi \cdot R }\)

b.
Wartość prędkości liniowej punktu \(\displaystyle{ v(t) }\) obliczamy jako pochodną drogi względem czasu

\(\displaystyle{ v(t) = s'(t) }\)

dla \(\displaystyle{ t = 2s.}\)

Wartość prędkości kątowej \(\displaystyle{ \omega(t) }\) obliczamy z miary łukowej

\(\displaystyle{ \omega(t) = \frac{v(t)}{R} }\)

dla \(\displaystyle{ t = 2s.}\)

c.
Przyśpieszenie kątowe \(\displaystyle{ \epsilon(t) }\) obliczamy jako pochodną prędkości kątowej \(\displaystyle{ \omega(t)}\)

\(\displaystyle{ \epsilon(t) = \omega'(t) }\)

dla \(\displaystyle{ t = 2 s.}\)

d.
Wartość przyśpieszenia stycznego obliczamy z równania:

\(\displaystyle{ a_{s} = \epsilon \cdot R }\)

e.
Wartość przyśpieszenia normalnego (dośrodkowego) \(\displaystyle{ a_{n} }\) obliczamy ze wzoru:

\(\displaystyle{ a_{n} = \omega^2 \cdot R = \frac{v^2}{R} }\)

f.
Wartość przyśpieszenia całkowitego jest równa:

\(\displaystyle{ a = \sqrt{a^2_{s} + a^2_{n}}.}\)

Proszę podczas obliczeń uwzględnić odpowiednie jednostki i wykonać rysunki, przyjmując wektory prędkości i przyśpieszeń: \(\displaystyle{ \vec{v}, \ \ \vec{\omega}, \ \ \vec{\epsilon},\ \ \vec{a}_{s}, \ \ \vec{a}_{n}, \ \ \vec{a}.}\)
ODPOWIEDZ