równanie różniczkowe

[marej]

Witam,
poniżej fragment rozwiązania.
\(\displaystyle{ -\frac{m}{c(\beta-\alpha)}[-\ln(v-\alpha)+\ln(v-\beta))]=-t+C_{1} }\) po przekształceniach
\(\displaystyle{ \frac{m}{c(\beta-\alpha)}\ln|\frac{v-\beta}{v-\alpha}|=-t+C_{1}}\). Z warunku początkowego v(0)=0
\(\displaystyle{ C_{1}=\frac{m}{c(\beta-\alpha)}\ln|\frac{\beta}{-\alpha}|}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ \beta>0\ ,\alpha<0}\), więc
\(\displaystyle{ C_{1}=\frac{m}{c(\beta-\alpha)}\ln\frac{\beta}{-\alpha}}\)
Dlaczego w drugiej linijce znikł "-" czy nie powinno być
\(\displaystyle{ -\frac{m}{c(\beta-\alpha)}\ln|\frac{v-\beta}{v-\alpha}|=-t+C_{1}}\).
Dlaczego jest
\(\displaystyle{ C_{1}=\frac{m}{c(\beta-\alpha)}\ln\frac{\beta}{-\alpha}}\)
a nie
\(\displaystyle{ C_{1}=\frac{m}{c(\beta-\alpha)}\ln\frac{-\beta}{-\alpha}}\)

[Janusz Tracz]

Zacznijmy od tego, że te znaczki mają jakiś sens i każdy z nich jest jakoś ściśle określony. Żonglerka znaczkami jednak jest dozwolona, gdy jest się inżynierem więc zauważ, że pewnie w pierwszej linijce powinno być

\(\displaystyle{ -\frac{m}{c(\beta-\alpha)} \left[ -\ln \red{\left| v-\alpha\right|} +\ln \red{ \left| v-\beta\right|} \right] =-t+C_{1}}\)

teraz korzystamy z wzorków na logarytmy. I tu zasadniczo są dwie opcje

• \(\displaystyle{ -\ln \xi+\ln \eta = \ln \eta - \ln \xi =\ln \frac{\eta}{\xi} }\)

• \(\displaystyle{ -\ln \xi+\ln \eta =\ln \xi^{-1}+\ln \eta=\ln \frac{1}{\xi} +\ln \eta = \ln \frac{\eta}{\xi} }\)

tak czy inaczej

\(\displaystyle{ -\ln \red{\left| v-\alpha\right|} +\ln \red{ \left| v-\beta\right|} = \ln \frac{\left| v- \beta \right| }{\left| v- \alpha \right| } }\)

teraz zauważ, że wartość bezwzględna pozwala dowolnie obracać kolejność \(\displaystyle{ v, \alpha }\) oraz \(\displaystyle{ \beta }\). Więc każda kombinacja z napisów \(\displaystyle{ \left| v- \alpha \right| }\) czy \(\displaystyle{ \left| \alpha -v\right| }\) oraz \(\displaystyle{ \left| v- \beta \right| }\) czy \(\displaystyle{ \left| \beta -v\right| }\) na ten sam sens. Kładąc warunek początkowy \(\displaystyle{ v(t=0)=0}\) dostajemy w najbezpieczniejszej postaci, że

\(\displaystyle{ C_1=\frac{m}{c(\beta-\alpha)}\ln \frac{\left| \beta \right| }{\left| \alpha \right| } }\)

to powinno wyjaśnić Ci pierwszą wątpliwość. Drugie pytanie teraz jest proste. Ponieważ wiemy coś dodatkowego o \(\displaystyle{ \alpha }\) oraz \(\displaystyle{ \beta }\) mianowicie znamy ich znak. To z definicji modułu możemy powiedzieć, że

\(\displaystyle{ \left| \alpha \right|=- \alpha \ \ (\text{bo } \alpha <0) \qquad \& \qquad \left| \beta \right| = \beta \ \ (\text{bo } \beta >0) }\)

czyli ostatecznie mamy

\(\displaystyle{ C_1=\frac{m}{c(\beta-\alpha)}\ln \frac{ \beta }{- \alpha } }\)

Swoją drogą sprawdzanie, że

\(\displaystyle{ C_{1}=\frac{m}{c(\beta-\alpha)}\ln\frac{-\beta}{-\alpha}}\)

jest źle polega na zauważanie, że \(\displaystyle{ -\beta/-\alpha}\) jest ujemne wiec logarytm nie jest tam określony.

[a4karo]

To wyjaśnienie nie wyjaśnia dlaczego znikł minus przed całym wyrażeniem. Na to nie ma uzasadnienia.

[marej]

ten minus przed całym wyrażeniem zmienia całkowicie rozwiązanie i jest to chyba bląd w rozwiązaniu w książce