Równanie Newtona

Ruch prostoliniowy, po okręgu, krzywoliniowy. rzuty. Praca, energia i moc. Zasady zachowania.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: janusz47 »

To może tą metodę zrozumiesz.

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot a = -G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = -G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)

Warunki początkowe:

\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)

Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = -\int_{x_{0}}^{x} G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + \overline{x})^2}d\overline{x} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2- \frac{1}{2}v^2_{0}= -G\cdot M_{z}\left[ \frac{1}{r_{Z} +x_{0}} - \frac{1}{r_{Z} +x} \right] = G\cdot M_{z}\left[ \frac{1}{r_{Z} +x} - \frac{1}{r_{Z} +x_{0}} \right]}\)

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G\cdot M_{Z} \left(\frac{1}{r_{Z}+x} \right)}, \ \ \frac{1}{r_{Z} +x_{0}} \approx 0. }\)

\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)

\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G\cdot M_{Z}\cdot \left(\frac{1}{r_{Z}+x}\right)}}}\)

\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot M_{Z} \left(\frac{1}{r_{Z} + \overline{x}}\right)}} = g(x) \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)

Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{1}{\sqrt{2G\cdot M_{z}}}\int_{x_{0}}^{x}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{r_{Z} +\overline{x}}}}d\overline{x} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{1}{\sqrt{2G\cdot M_{Z}}}\int_{x_{0}}^{x} \sqrt{r_{Z} + \overline{x}}d\overline{x} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{2}{3\sqrt{2G\cdot M_{z}}} ( r_{Z} + \overline{x})^{\frac{3}{2}}|_{x_{0}}^{x} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{2}{3\sqrt{2G\cdot M_{z}}}( r_{Z}+x -r_{z}- x_{0})^{\frac{3}{2}} }\)

\(\displaystyle{ x -x_{0} = \left[\frac{3\sqrt{G\cdot M_{Z}}}{2}(t - t_{0})\right]^{\frac{2}{3}} }\)

\(\displaystyle{ x(t) = x_{0} + \left[\frac{3\sqrt{G\cdot M_{Z}}}{2}( t - t_{0})\right]^{\frac{2}{3}}.}\)
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: kruszewski »

Racja! Umknął mi iloraz \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} }\) a to spowodowało błąd w rachunkach.
Przepraszam.
W.Kr.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: max123321 »

W tych waszych rozwiązaniach widzę podobieństwa, ale rozumiem do pewnego momentu tzn:
Wychodzimy od tego:
\(\displaystyle{ \frac{ \dd^2 x }{ \dd t^2 }= \frac{A}{(r+x)^2} }\)
Dalej:
\(\displaystyle{ \frac{ \dd v}{ \dd t}= \frac{A}{(r+x)^2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \dd v }{ \dd x } \frac{ \dd x }{ \dd t }= \frac{A}{(r+x)^2} }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} v \dd v= \int_{}^{} \frac{A}{(r+x)^2} \dd x }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2=- \frac{2A}{r+x}+C }\)
\(\displaystyle{ v= \pm \sqrt{C-\frac{2A}{(r+x)}} }\)
No i do dotąd mniej więcej rozumiem, dalej chyba trzeba rozdzielić zmienne i napisać:
\(\displaystyle{ \pm \int_{}^{} \frac{ \dd x }{ \sqrt{C-\frac{2A}{(r+x)}}}= \int_{}^{} \dd t }\)
No, ale nie wiem jak policzyć tą całkę po lewej stronie bo to będzie całka z funkcji niewymiernej.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: a4karo »

To się cąłkuje, choć wynik nie wygląda ładnie. Zapraszam na WolframAlpha

Dodano po 17 minutach 5 sekundach:
To może w końcu ustalisz, która z Twoich "Metod" jest poprawna?

janusz47 pisze: 8 mar 2021, o 00:33 To może tą metodę zrozumiesz.

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot a = -G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = -G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)

Warunki początkowe:

\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)

Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = -\int_{x_{0}}^{x} G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + \overline{x})^2}d\overline{x} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2- \frac{1}{2}v^2_{0}= -G\cdot M_{z}\left[ \frac{1}{r_{Z} +x_{0}} - \frac{1}{r_{Z} +x} \right] = G\cdot M_{z}\left[ \frac{1}{r_{Z} +x} - \frac{1}{r_{Z} +x_{0}} \right]}\)
Brawo, już za trzecim razem udało Ci się policzyć tę całkę poprawnie. Szkoda, że nie uznałeś za stosowne zwrócić uwagę czytelników na ten bład.

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G\cdot M_{Z} \left(\frac{1}{r_{Z}+x} \right)}, \ \ \frac{1}{r_{Z} +x_{0}} \approx 0. }\)
A to tak można pominąć sobie jakiś składnik, nawet mały?? I na dodatek założyć, że prędkość początkowa była zerowa (choć w zadaniu ani słowa na ten temat nie ma)?
\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)

\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G\cdot M_{Z}\cdot \left(\frac{1}{r_{Z}+x}\right)}}}\)

\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot M_{Z} \left(\frac{1}{r_{Z} + \overline{x}}\right)}} = g(x) \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)

Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{1}{\sqrt{2G\cdot M_{z}}}\int_{x_{0}}^{x}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{r_{Z} +\overline{x}}}}d\overline{x} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{1}{\sqrt{2G\cdot M_{Z}}}\int_{x_{0}}^{x} \sqrt{r_{Z} + \overline{x}}d\overline{x} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{2}{3\sqrt{2G\cdot M_{z}}} ( r_{Z} + \overline{x})^{\frac{3}{2}}|_{x_{0}}^{x} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{2}{3\sqrt{2G\cdot M_{z}}}( r_{Z}+x -r_{z}- x_{0})^{\frac{3}{2}} }\)
Naprawdę uważasz, że \(\displaystyle{ a^{3/2}-b^{3/2}=(a-b)^{3/2}}\) ????

\(\displaystyle{ x -x_{0} = \left[\frac{3\sqrt{G\cdot M_{Z}}}{2}(t - t_{0})\right]^{\frac{2}{3}} }\)

\(\displaystyle{ x(t) = x_{0} + \left[\frac{3\sqrt{G\cdot M_{Z}}}{2}( t - t_{0})\right]^{\frac{2}{3}}.}\)
Po uzyskaniu wyniku warto sprawdzić co on oznacza. Tutaj akurat wychodzi, że \(\displaystyle{ v(t_0)=\lim_{t\to t_0} \frac{dx(t)}{dt}=\infty}\). Jakieś wnioski?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: janusz47 »

??????
\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{2}{3\sqrt{2G\cdot M_{z}}}( r_{Z}+x -r_{Z}- x_{0})^{\frac{3}{2}} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{2}{3\sqrt{2G\cdot M_{z}}}(x- x_{0}) ^{\frac{3}{2}}.}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: a4karo »

Przypomnij sobie co znaczy symbol `f(t)|_x^y`
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: janusz47 »

To może tą metodę zrozumiesz.

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot a = -G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = -G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)

Warunki początkowe:

\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)

Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = -\int_{x_{0}}^{x} G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + \overline{x})^2}d\overline{x} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2- \frac{1}{2}v^2_{0}= -G\cdot M_{z}\left[ \frac{1}{r_{Z} +x_{0}} - \frac{1}{r_{Z} +x} \right] = G\cdot M_{z}\left[ \frac{1}{r_{Z} +x} - \frac{1}{r_{Z} +x_{0}} \right]}\)

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G\cdot M_{Z} \left(\frac{1}{r_{Z}+x} \right)}, \ \ \frac{1}{r_{Z} +x_{0}} \approx 0. }\)

\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)

\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G\cdot M_{Z}\cdot \left(\frac{1}{r_{Z}+x}\right)}}}\)

\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot M_{Z} \left(\frac{1}{r_{Z} + \overline{x}}\right)}} = g(x) \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)

Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2) }\) i wyznaczamy zmienną \(\displaystyle{ x(t) }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{1}{\sqrt{2G\cdot M_{z}}}\int_{x_{0}}^{x}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{r_{Z} +\overline{x}}}}d\overline{x} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{1}{\sqrt{2G\cdot M_{Z}}}\int_{x_{0}}^{x} \sqrt{r_{Z} + \overline{x}}d\overline{x} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{2}{3\sqrt{2G\cdot M_{z}}} ( r_{Z} + \overline{x})^{\frac{3}{2}}|_{x_{0}}^{x} }\)

\(\displaystyle{ t - t_{0} = \frac{2}{3\sqrt{2G\cdot M_{z}}}\left[ (r_{Z}+x)^{\frac{3}{2}} -(r_{z}+ x_{0})^{\frac{3}{2}}\right] }\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\sqrt{2G\cdot M_{z}}\cdot (t - t_{0}) = (r_{Z}+x)^{\frac{3}{2}} -(r_{Z}+ x_{0})^{\frac{3}{2}} }\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\sqrt{2G\cdot M_{z}}\cdot (t - t_{0}) +( r_{Z} + x_{0})^{\frac{3}{2}} = (r_{Z}+x)^{\frac{3}{2}} }\)

\(\displaystyle{ r_{Z} + x = \left[ \frac{3}{2}\sqrt{2G\cdot M_{Z}}\cdot( t- t_{0}) + ( r_{Z} +x_{0})^{\frac{3}{2}}\right]^ {\frac{2}{3}} }\)

\(\displaystyle{ x(t) = \left[ \frac{3}{2}\sqrt{2G\cdot M_{Z}}\cdot ( t- t_{0}) + ( r_{Z} +x_{0})^{\frac{3}{2}}\right]^ {\frac{2}{3}} - r_{Z}. }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 8 mar 2021, o 11:28 To może tą metodę zrozumiesz.

Po raz kolejny robisz z czytelników idiotów, którzy nie potrafią zrozumieć Twoich błędów. I na dodatek nie potrafisz się do nich przyznać: dowodem cztery różne rozwiązania, z których nie zechciałeś się wycofać.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: janusz47 »

Ten post nic nowego do rozwiązania nie wnosi.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: max123321 »

a4karo wrzuciłem tą całkę na wolframa i faktycznie brzydko wychodzi, ale dalej z tego dostaniemy równanie w którym lewa strona to jest wynik właśnie tej całki, a prawa to \(\displaystyle{ t+C_2}\) no i jest jakaś zależność między \(\displaystyle{ x(t)}\), a \(\displaystyle{ t}\), ale chyba nie sposób z tego w postaci jawnej wyznaczyć \(\displaystyle{ x(t)}\), więc zastanawiam się czy tu nie ma jakiegoś błędu? Bo w poleceniu jest, żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ x(t)}\), więc powinno się jakoś dać wyznaczyć to \(\displaystyle{ x(t)}\)?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: a4karo »

Rozwiązanie jest nadal błędne, bo nie można zaniedbać składnika `\frac{1}{r_Z+x_0}` i założyć `v_0=0`.

Jak znam janusza47, to zaraz nam tu napisze piątą wersję rozwiązania, a potem powie: każde jest dobre :)

Dodano po 3 minutach 12 sekundach:
max123321 pisze: 8 mar 2021, o 12:12 a4karo wrzuciłem tą całkę na wolframa i faktycznie brzydko wychodzi, ale dalej z tego dostaniemy równanie w którym lewa strona to jest wynik właśnie tej całki, a prawa to \(\displaystyle{ t+C_2}\) no i jest jakaś zależność między \(\displaystyle{ x(t)}\), a \(\displaystyle{ t}\), ale chyba nie sposób z tego w postaci jawnej wyznaczyć \(\displaystyle{ x(t)}\), więc zastanawiam się czy tu nie ma jakiegoś błędu? Bo w poleceniu jest, żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ x(t)}\), więc powinno się jakoś dać wyznaczyć to \(\displaystyle{ x(t)}\)?

Nie każde równanie różniczkowe da się rozwiązać w postaci jawnej i nie ma tu żadnego błędu. Twierdzenie o funkcji uwikłanej stwierdza, że lokalnie da sie toto rozwikłać, ale nie ma metod, które przedstawiłyby rozwiązanie w postaci jawnej funkcji od zmiennej `t`.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: kruszewski »

Tu są możliwe dwie sytacje.
Pierwsza, to taka, kiedy masa \(\displaystyle{ m}\) w chwili \(\displaystyle{ t_o = 0}\) znajduje się w odległośći \(\displaystyle{ x_{(t_0 = 0) } = x_o}\) , np 1 km nad powierzchnią Ziemi i jest w spoczynku wględem niej. W chili \(\displaystyle{ t_o = 0}\) masa \(\displaystyle{ m}\) jest uwalniana od więzu i swobodnie porusza się w kierunku środka masy \(\displaystyle{ M}\).
Pytamy tu o przebytą drogę od położenia początkowego, lub o odległość masy \(\displaystyle{ m}\) od powierzchni Ziemi (lub jej środka) pod wpływem ciągle powiększającej się siły przyciągania do \(\displaystyle{ M }\).

Druga to taka, kiedy masa \(\displaystyle{ m}\) w chwili \(\displaystyle{ t_o = 0}\) jest wyrzucana z powierzchni Ziemi pionowo w górę z prędkością \(\displaystyle{ v_o}\) . Tu pytamy o przebytą drogę z co raz malejącą siłą hamującą.
Stąd dla każdego przypadku są różne zwroty wektorów prędkości i przyspieszenia oraz warunki początkowe .
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie Newtona

Post autor: janusz47 »

W jednym z pięciu przypadków \(\displaystyle{ F = m\cdot a(x) }\), gdy przyśpieszenie zależne od położenia \(\displaystyle{ x, }\) aby otrzymać postać jawną rozwiązania, najpierw dokonujemy zamiany zmiennych z \(\displaystyle{ x }\) na prędkość \(\displaystyle{ v }\).

Po dwukrotnym całkowaniu otrzymanych równań o zmiennych rozdzielających się znajdujemy funkcję odwrotną względem zmiennej \(\displaystyle{ t, \ \ x(t). }\)
ODPOWIEDZ