Równanie Newtona
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Równanie Newtona
Rozwiąż równanie Newtona:
\(\displaystyle{ m \frac{ \dd ^2 x}{ \dd t^2 }=- \frac{GM_zm}{(r_z+x)^2} }\)
,gdzie: \(\displaystyle{ m}\)-masa ciała, \(\displaystyle{ x}\)-położenie ciała nad powierzchnią Ziemi,\(\displaystyle{ M_z}\)-Masa Ziemi,
\(\displaystyle{ G}\)-stała grawitacji,\(\displaystyle{ r_z}\)-promień Ziemi
Nie bardzo wiem jak to zrobić. Jak rozumiem, mam wyznaczyć położenie \(\displaystyle{ x}\) od czasu, ale dostaję jakieś skomplikowane równanie różniczkowe, którego nie umiem rozwiązać. Może mi ktoś pomóc?
\(\displaystyle{ m \frac{ \dd ^2 x}{ \dd t^2 }=- \frac{GM_zm}{(r_z+x)^2} }\)
,gdzie: \(\displaystyle{ m}\)-masa ciała, \(\displaystyle{ x}\)-położenie ciała nad powierzchnią Ziemi,\(\displaystyle{ M_z}\)-Masa Ziemi,
\(\displaystyle{ G}\)-stała grawitacji,\(\displaystyle{ r_z}\)-promień Ziemi
Nie bardzo wiem jak to zrobić. Jak rozumiem, mam wyznaczyć położenie \(\displaystyle{ x}\) od czasu, ale dostaję jakieś skomplikowane równanie różniczkowe, którego nie umiem rozwiązać. Może mi ktoś pomóc?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie Newtona
\(\displaystyle{ y = \frac{dx}{dt},}\)
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dy}{dt} = m\cdot\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = m\cdot y \cdot \frac{dy}{dx}. }\)
\(\displaystyle{ m\cdot y \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}. }\)
\(\displaystyle{ m\int y\cdot \frac{dy}{dx} = -\int \frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}dx + E, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}m\cdot y^2 = -\int \frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}dx + E }\)
\(\displaystyle{ y^2 = -2G\cdot M_{z} \int \frac{1}{(r_{z} +x)^2} dx + C. }\)
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dy}{dt} = m\cdot\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = m\cdot y \cdot \frac{dy}{dx}. }\)
\(\displaystyle{ m\cdot y \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}. }\)
\(\displaystyle{ m\int y\cdot \frac{dy}{dx} = -\int \frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}dx + E, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}m\cdot y^2 = -\int \frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}dx + E }\)
\(\displaystyle{ y^2 = -2G\cdot M_{z} \int \frac{1}{(r_{z} +x)^2} dx + C. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Równanie Newtona
No, ale jak scałkować raz, a potem jeszcze raz? \(\displaystyle{ x}\) występuje zarówno po lewej jak i po prawej stronie równości zatem trzeba go chyba przenieść na jedną stronę i się dostaje dość skomplikowane równanie różniczkowe.
Janusz no dobra, ale jak potem z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\)?
Janusz no dobra, ale jak potem z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie Newtona
Oblicz całkę
\(\displaystyle{ V(x) = -\int F(x)dx = -G\cdot m \cdot M_{z} \int \frac{1}{(r_{z} +x)^2} dx + E }\) (energii potencjalnej)
Przyjmując warunki początkowe:
\(\displaystyle{ x(0) = x_{0} , \ \ y(0) = y_{0}, }\)
\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2}y^2_{0} + V(x_{0}). }\)
Oblicz \(\displaystyle{ x(t) }\) z równania pierwszego
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = \pm\sqrt{ \frac{2}{m}}\cdot \sqrt{ E - V(x)}. }\)
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.
\(\displaystyle{ V(x) = -\int F(x)dx = -G\cdot m \cdot M_{z} \int \frac{1}{(r_{z} +x)^2} dx + E }\) (energii potencjalnej)
Przyjmując warunki początkowe:
\(\displaystyle{ x(0) = x_{0} , \ \ y(0) = y_{0}, }\)
\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2}y^2_{0} + V(x_{0}). }\)
Oblicz \(\displaystyle{ x(t) }\) z równania pierwszego
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = \pm\sqrt{ \frac{2}{m}}\cdot \sqrt{ E - V(x)}. }\)
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Równanie Newtona
Nie rozumiem. Najpierw masz tam lewej stronie \(\displaystyle{ y^2}\), a potem jakieś \(\displaystyle{ V}\)?
a4karo możesz pokazać schemat jak to się powinno liczyć? Nie chodzi mi o pełne rozwiązanie bo to sobie policzę jak zrozumiem tylko o schemat jakim się to powinno liczyć.
a4karo możesz pokazać schemat jak to się powinno liczyć? Nie chodzi mi o pełne rozwiązanie bo to sobie policzę jak zrozumiem tylko o schemat jakim się to powinno liczyć.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie Newtona
To może tą metodę zrozumiesz.
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot a = G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)
\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)
Warunki początkowe:
\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)
Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2}}}\)
\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)
\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x^2)^2}}}}\)
\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + \overline{x})^2}}} = g(x) \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)
Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot a = G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)
\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)
Warunki początkowe:
\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)
Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2}}}\)
\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)
\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x^2)^2}}}}\)
\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + \overline{x})^2}}} = g(x) \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)
Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Równanie Newtona
"Całkujemy równanie (1) uwzględniając warunki początkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2}}\) "
i piszemy równanie wymiarowe:
Stała grawitacji \(\displaystyle{ G}\) ma wymiar : \(\displaystyle{ \frac{m^3}{kg \cdot s^2} }\)
\(\displaystyle{ v^2}\) ma wymiar kwadratu prędkości: \(\displaystyle{ \frac{m^2}{s^2} }\)
Masy \(\displaystyle{ M_Z \ i \ m}\) mają wymiar \(\displaystyle{ kg}\) a kwadrat sumy: \(\displaystyle{ (r_Z \ + \ x )^2 }\) ma wymiar kwadratu długości, \(\displaystyle{ m^2}\)
Równanie (1) wymiarowo ma postać:
\(\displaystyle{ \frac {m^2}{s^2} = \frac {m^3}{kg \cdot s^2} }\) \(\displaystyle{ \cdot\frac{kg \cdot kg}{ m^2} }\)
i po wykonaniu działań nie sprawdza równania wymiarowo.
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2}}\) "
i piszemy równanie wymiarowe:
Stała grawitacji \(\displaystyle{ G}\) ma wymiar : \(\displaystyle{ \frac{m^3}{kg \cdot s^2} }\)
\(\displaystyle{ v^2}\) ma wymiar kwadratu prędkości: \(\displaystyle{ \frac{m^2}{s^2} }\)
Masy \(\displaystyle{ M_Z \ i \ m}\) mają wymiar \(\displaystyle{ kg}\) a kwadrat sumy: \(\displaystyle{ (r_Z \ + \ x )^2 }\) ma wymiar kwadratu długości, \(\displaystyle{ m^2}\)
Równanie (1) wymiarowo ma postać:
\(\displaystyle{ \frac {m^2}{s^2} = \frac {m^3}{kg \cdot s^2} }\) \(\displaystyle{ \cdot\frac{kg \cdot kg}{ m^2} }\)
i po wykonaniu działań nie sprawdza równania wymiarowo.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie Newtona
To może tą metodę zrozumiesz.
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot a = G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)
\(\displaystyle{ a = G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)
\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)
Warunki początkowe:
\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)
Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2}}}\)
\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)
\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x^2)^2}}}}\)
\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + \overline{x})^2}}} = g(x) \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)
Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)
Dzięki za zwrócenie uwagi.
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot a = G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)
\(\displaystyle{ a = G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)
\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)
Warunki początkowe:
\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)
Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2}}}\)
\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)
\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x^2)^2}}}}\)
\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + \overline{x})^2}}} = g(x) \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)
Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)
Dzięki za zwrócenie uwagi.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równanie Newtona
\(\displaystyle{ }\)Tak, szukamy `x(t)`. Przepraszam za pierwszy wpis, który był mocno mylący.
Rownanie
\(\displaystyle{ x''(t)=\frac{A}{(r+x)^2}}\) mnożymy obustronnie przez `x'(t)`
Wtedy lewa strona to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left((x')^2\right)'}\) a prawa to \(\displaystyle{ \left(-\frac{A}{r+x}\right)'}\)
Zatem
\(\displaystyle{ x'(t)=\pm\sqrt{C-\frac{2A}{r+x}}}\)
i masz proste równanie z rozdzelonymi zmiennymi
Rownanie
\(\displaystyle{ x''(t)=\frac{A}{(r+x)^2}}\) mnożymy obustronnie przez `x'(t)`
Wtedy lewa strona to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left((x')^2\right)'}\) a prawa to \(\displaystyle{ \left(-\frac{A}{r+x}\right)'}\)
Zatem
\(\displaystyle{ x'(t)=\pm\sqrt{C-\frac{2A}{r+x}}}\)
i masz proste równanie z rozdzelonymi zmiennymi