Równanie Newtona

[max123321]

Rozwiąż równanie Newtona:
\(\displaystyle{ m \frac{ \dd ^2 x}{ \dd t^2 }=- \frac{GM_zm}{(r_z+x)^2} }\)
,gdzie: \(\displaystyle{ m}\)-masa ciała, \(\displaystyle{ x}\)-położenie ciała nad powierzchnią Ziemi,\(\displaystyle{ M_z}\)-Masa Ziemi,
\(\displaystyle{ G}\)-stała grawitacji,\(\displaystyle{ r_z}\)-promień Ziemi

Nie bardzo wiem jak to zrobić. Jak rozumiem, mam wyznaczyć położenie \(\displaystyle{ x}\) od czasu, ale dostaję jakieś skomplikowane równanie różniczkowe, którego nie umiem rozwiązać. Może mi ktoś pomóc?

[a4karo]

A nie wystarczy scalkować raz, a potem jeszcze raz?

[janusz47]

\(\displaystyle{ y = \frac{dx}{dt},}\)

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dy}{dt} = m\cdot\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = m\cdot y \cdot \frac{dy}{dx}. }\)

\(\displaystyle{ m\cdot y \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}. }\)

\(\displaystyle{ m\int y\cdot \frac{dy}{dx} = -\int \frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}dx + E, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}m\cdot y^2 = -\int \frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}dx + E }\)

\(\displaystyle{ y^2 = -2G\cdot M_{z} \int \frac{1}{(r_{z} +x)^2} dx + C. }\)

[max123321]

No, ale jak scałkować raz, a potem jeszcze raz? \(\displaystyle{ x}\) występuje zarówno po lewej jak i po prawej stronie równości zatem trzeba go chyba przenieść na jedną stronę i się dostaje dość skomplikowane równanie różniczkowe.

Janusz no dobra, ale jak potem z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\)?

[janusz47]

Oblicz całkę

\(\displaystyle{ V(x) = -\int F(x)dx = -G\cdot m \cdot M_{z} \int \frac{1}{(r_{z} +x)^2} dx + E }\) (energii potencjalnej)

Przyjmując warunki początkowe:

\(\displaystyle{ x(0) = x_{0} , \ \ y(0) = y_{0}, }\)

\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2}y^2_{0} + V(x_{0}). }\)

Oblicz \(\displaystyle{ x(t) }\) z równania pierwszego

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = \pm\sqrt{ \frac{2}{m}}\cdot \sqrt{ E - V(x)}. }\)

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

[max123321]

Nie rozumiem. Najpierw masz tam lewej stronie \(\displaystyle{ y^2}\), a potem jakieś \(\displaystyle{ V}\)?

a4karo możesz pokazać schemat jak to się powinno liczyć? Nie chodzi mi o pełne rozwiązanie bo to sobie policzę jak zrozumiem tylko o schemat jakim się to powinno liczyć.

[kruszewski]

Przepraszam że zapytam, a równania co opisującego szukamy?

[janusz47]

To może tą metodę zrozumiesz.

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot a = G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)

Warunki początkowe:

\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)

Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2}}}\)

\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)

\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x^2)^2}}}}\)

\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + \overline{x})^2}}} = g(x) \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)

Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)

[a4karo]

Przeczytaj to jeszcze raz, Sam.

[kruszewski]

"Całkujemy równanie (1) uwzględniając warunki początkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2}}\) "

i piszemy równanie wymiarowe:
Stała grawitacji \(\displaystyle{ G}\) ma wymiar : \(\displaystyle{ \frac{m^3}{kg \cdot s^2} }\)
\(\displaystyle{ v^2}\) ma wymiar kwadratu prędkości: \(\displaystyle{ \frac{m^2}{s^2} }\)
Masy \(\displaystyle{ M_Z \ i \ m}\) mają wymiar \(\displaystyle{ kg}\) a kwadrat sumy: \(\displaystyle{ (r_Z \ + \ x )^2 }\) ma wymiar kwadratu długości, \(\displaystyle{ m^2}\)
Równanie (1) wymiarowo ma postać:
\(\displaystyle{ \frac {m^2}{s^2} = \frac {m^3}{kg \cdot s^2} }\) \(\displaystyle{ \cdot\frac{kg \cdot kg}{ m^2} }\)
i po wykonaniu działań nie sprawdza równania wymiarowo.

[a4karo]

To nie jest jedyną rzecz, która się nie zgadza

[max123321]

To może mi ktoś powiedzieć jak poprawnie policzyć to zadanie? Janusz coś tam pisze, ale to się chyba kupy nie trzyma.

[janusz47]

To może tą metodę zrozumiesz.

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot a = G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)

Warunki początkowe:

\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)

Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2}}}\)

\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)

\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x^2)^2}}}}\)

\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + \overline{x})^2}}} = g(x) \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)

Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)

Dzięki za zwrócenie uwagi.

[max123321]

Może ktoś to potwierdzić, albo zaprzeczyć?

Kruszewski szukamy \(\displaystyle{ x(t)}\).

[a4karo]

\(\displaystyle{ }\)Tak, szukamy `x(t)`. Przepraszam za pierwszy wpis, który był mocno mylący.

Rownanie
\(\displaystyle{ x''(t)=\frac{A}{(r+x)^2}}\) mnożymy obustronnie przez `x'(t)`

Wtedy lewa strona to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left((x')^2\right)'}\) a prawa to \(\displaystyle{ \left(-\frac{A}{r+x}\right)'}\)

Zatem

\(\displaystyle{ x'(t)=\pm\sqrt{C-\frac{2A}{r+x}}}\)

i masz proste równanie z rozdzelonymi zmiennymi