Kula bilardowa uderzona kijem

[michalkl1988]

Cześć,

mam taki proble4m z zadaniem.

Kij nadaje przyspieszenie spoczywającej kuli bilardowej. Kij przed uderzeniem kuli znajduje się w pozycji poziomej, na wysokości h powyżej osi kuli. Kula odbija się od kija z prędkością \(\displaystyle{ v_o}\), ale ze względu na "fałszywe uderzenie do przodu" osiąga ostatecznie końcową prędkość \(\displaystyle{ \frac{9}{7}v_o}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ h=\frac{4}{5}R}\), gdzie R jest to promień kuli.

Zadanie zacząłem rozwiązywać tak. Siła F (pochodząca od kija) działa w lewo. Siła tarcia T między kulą i podłogą działa w prawo. Zatem:

\(\displaystyle{ ma=F-T}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{mR^2}\epsilon=Fh+TR}\)

Kula na końcu ma się toczyć, więc zachodzi, że:

\(\displaystyle{ v=\omega R}\)
\(\displaystyle{ v_o+at=\epsilon t R}\)

Po przekształceniach wychodzi mi, że czas po którym kula się toczy równa się:

\(\displaystyle{ t=\frac{2mRv_o}{5Fh-2FR+7TR}}\)

Wiem również, że:
\(\displaystyle{ at=\frac{2}{7}v_o}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{7}v_o=\frac{F-T}{m}\frac{2mRv_o}{5Fh-2FR+7TR}}\)

Po przekształceniach wychodzi mi, że:
\(\displaystyle{ T=\frac{9R-5h}{14R}F}\)

I dalej nie wiem jak to już ugryźć. Gdybym wiedział jaka jest zależność między T i F, to byłby koniec zadania. Czy ktoś ma pomysł jak, to dalej rozwiązać?

Dodano po 14 godzinach 31 minutach 12 sekundach:
Wpadłem na takie rozwiązanie. Należy skorzystać z zależności:

\(\displaystyle{ M=\frac{\Delta L}{\Delta t}}\)

M jest to wypadkowy moment siły, L jest to moment pędu.

W czasie uderzenia zachodzi, że (liczone względem osi przechodzącej przez punkt styku kuli z podłożem):

\(\displaystyle{ M=F(h+R)}\)

\(\displaystyle{ \Delta L=M\Delta t=F(h+R)\Delta t=Fh\Delta t+FR\Delta t}\)

Podczas uderzenia działa wyłącznie siła F, nie ma tarcia. Zatem:

\(\displaystyle{ F=ma}\)

\(\displaystyle{ \Delta L=mha\Delta t+mRa\Delta t=mhv_o+mRv_o}\)

Początkowo kula spoczywała, więc ma moment pędu równy:

\(\displaystyle{ L_o=0}\)

Na końcu toczy się z prędkością \(\displaystyle{ \frac{9}{7}v_o}\), więc:

\(\displaystyle{ L_k=I\omega=(\frac{2}{5}mR^2+mR^2)\omega=\frac{7}{5}mR^2(\frac{9}{7}\frac{v_o}{R})=\frac{9}{5}mRv_o}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \Delta L=L_k-L_o}\)

\(\displaystyle{ mhv_o+mRv_o=\frac{9}{5}mRv_o}\)

Zachodzi zatem, że:

\(\displaystyle{ mhv_o=\frac{4}{5}mRv_o}\)

\(\displaystyle{ h=\frac{4}{5}R}\)

Wynika stąd, że wcześniejsze rozważanie jest błędne.

[kruszewski]

W chwili uderzenia bili prędkość jej środka masy równa jest \(\displaystyle{ v_o}\) .
Chwilowym środkiem obrotu jest punkt styczności bili z podłożem, zatem
\(\displaystyle{ v_o = \omega R }\) ...... (1)
Przyrost pędu ze stanu spoczynku:
\(\displaystyle{ S = m v_o = m \cdot \omega \cdot R}\) ..... (2)
\(\displaystyle{ I_A \cdot \omega = m \cdot \omega \cdot R \cdot H }\) ... (3) gdzie \(\displaystyle{ H}\) jest wysokością nad podłożem na które zadziałał impuls siły.
\(\displaystyle{ \frac{7}{5} mR^2 \omega = m \omega R \cdot H }\) .... (4)
\(\displaystyle{ \frac{7}{5} v_o \cdot R = v_1 \cdot H \ = \frac{9}{7} v_o \cdot H }\) .... (5)
\(\displaystyle{ H = \frac{7}{5 } \cdot \frac{9}{7} \cdot R}\) .... (6)
\(\displaystyle{ H = \frac{9}{5} R = R + \frac{4}{5}R }\) ... (7)
\(\displaystyle{ \frac{4}{5} R}\) jest poszukiwaną wysokością nad środkiem bili na której uderzył w nią kij.

[janusz47]

To zadanie pochodzi z I tomu starszych wydań Fizyki Resnicka, Halliday'a.

i Twoja druga próba jego rozwiązania jest jak najbardziej poprawna.

[kruszewski]

Nie znam tego wydania.

Dodano po 3 minutach :

A dlaczego druga?
"Jedną" pisałem.

[janusz47]

michalki1988 - druga próba rozwiązania, Pana Wiesława Kruszewskiego pierwsza próba rozwiązania są jak najbardziej poprawne.

[michalkl1988]

Dziękuję za odpowiedzi.

A czy ktoś z Was zna może rozwiązanie owego zadania korzystając z zasad dynamiki dla ruchu obrotowego z pominięciem momentów pędu?

Zastanawiam się jeszcze czy można w łatwy sposób rozwiązać zadanie względem środka masy kuli.

Powinno zachodzić, że zmiana momentu pędu względem środka masy kuli w czasie powinien być równy wypadkowemu momentowi siły względem środka masy:

\(\displaystyle{ M^`=Fh}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \Delta L^` = Fh\Delta t=mhv_o}\)

Zmiana pędu L` wynosi:

\(\displaystyle{ \Delta L^`=\frac{2}{5}mR^2\frac{9}{7}\frac{v_o}{R}=\frac{18}{35}mRv_o}\)

Z powyższego rozważania wynika, że h nie równa się 4/5 R. Za bardzo nie wiem co jest nie tak.