Tarcie obracającej się rury o ścianę

[Karol566]

Cześć, mam takie zadanie:
Jednorodna rura o promieniu \(\displaystyle{ R}\) obraca się w rogu między ścianą a podłogą, tak jak pokazano na rysunku. (Kręci się w stronę ściany) Początkowo prędkość kątowa tego ruchu wynosiła \(\displaystyle{ \omega _{0} }\). Współczynnik tarcia rury o ścianę i podłogę jest taki sam i równa się \(\displaystyle{ µ}\). Ile obrotów wykona rura do chwili zatrzymania?

Obrazek do zadania:

Kod: Zaznacz cały

https://i.ibb.co/0Mvz2g0/fizyka.jpg

Mam pytanie, czy moja interpretacja jest dobra?
"Występuje tylko siła tarcia o podłoże, ponieważ nie działa żadna siła na kierunku poziomym (czyli tarcie o ścianę by wynosiło \(\displaystyle{ T=0\cdot µ=0}\), bo kulka obraca się ruchem jednostajnie opóźnionym, przez co \(\displaystyle{ a=ϵ\cdot r}\), czyli również siła z 2 zasady dynamiki w postępowym jest skierowana w prawo"?

[kruszewski]

Podpowiedź szkicem:

[janusz47]

"Najpiękniejszy rysunek (szkic) nic nie pomoże, jak się nie zna zjawisk fizycznych i praw rządzących tymi zjawiskami oraz równań je opisujących."
Joseph Marie Jacquard

Do obwodu obracającej się rury przyłożone są:

- siła tarcia o podłogę \(\displaystyle{ T = \mu\cdot( m\cdot g - T_{1}) }\)

- siła tarcia o ścianę \(\displaystyle{ T_{1} = \mu\cdot T. }\)

Praca momentu sił tarcia równoważna jest ubytkowi energii kinetycznej ruchu obrotowego:

\(\displaystyle{ (T\cdot R + T_{1}\cdot R )\cdot \phi = \frac{I \cdot \omega^2_{0}}{2}, }\)

\(\displaystyle{ (T + T_{1})\cdot R \cdot \phi = \frac{I \cdot \omega^2_{0}}{2} }\)

gdzie

\(\displaystyle{ \phi = 2\pi \cdot n }\)

\(\displaystyle{ I = m\cdot R^2 }\) - moment bezwładności cienkościennej rury.

Stąd

\(\displaystyle{ (T_{1}+T_{2})\cdot R \cdot 2\pi \cdot n = \frac{m\cdot R^2 \cdot \omega^2_{0}}{2} }\)

\(\displaystyle{ n = \frac{m\cdot R^2 \omega^2_{0}}{4 \pi (T + T_{1})\cdot R} }\)

\(\displaystyle{ n = \frac{m\cdot R \omega^2_{0}}{4 \pi (T + T_{1})} \ \ (*) }\)

Pozostało obliczyć wartość sumy sił tarcia.

\(\displaystyle{ T = \mu(m\cdot g - T_{1}) = \mu( m\cdot g - \mu \cdot) = \mu\cdot m\cdot g -\mu^2T }\)

\(\displaystyle{ T (1 + \mu^2) = \mu\cdot m \cdot g }\)

\(\displaystyle{ T = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{1 + \mu^2} }\)

\(\displaystyle{ T + T_{1} = T + \mu \cdot T = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{1 + \mu^2} + \frac{\mu^2\cdot m \cdot g}{1 +\mu^2} = \frac{(\mu \cdot m \cdot g)(1 +\mu)}{1 + \mu^2} \ \ (**)}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ (**) }\) do \(\displaystyle{ (*) }\) - otrzymuje równanie na ilość \(\displaystyle{ n }\) obrotów rury do zatrzymania:

\(\displaystyle{ n = \frac{\omega^2_{0}\cdot R}{4\pi \cdot g }\cdot \frac{1 + \mu^2 }{\mu\cdot ( 1 +\mu )}. }\)