Znowu basen.

[kerajs]

Napełnienie głębokiego basenu (można przyjąć głębokość H) o stałym przekroju poziomym przez maksymalnie otwarty kran (umieszczony nad brzegiem basenu) zajmuje czas T (można przyjąć 5 godzin), podobnie jak opróżnienie pełnego basenu przez odpływ (umieszczony w płaskim, poziomym dnie basenu).
Pewnego dnia postanowiono napełnić pusty basen. Otwarto maksymalnie kran, lecz zapomniano zamknąć odpływ.
1. Do jakiej wysokości może napełnić się basen?
2. Po jakim czasie poziom wody osiągnie tę maksymalną wysokość?
3. Po jakim czasie basen napełni się do \(\displaystyle{ \frac15}\) objętości?

[korki_fizyka]

podobnie jak opróżnienie pełnego basenu przez odpływ

tym samym odpowiadasz sobie na wszystkie pytania

[Dasio11]

Brakującą informacją, żeby zadanie było czysto matematyczne, jest prędkość uchodzenia wody przez odpływ w zależności od wysokości \(\displaystyle{ h}\) wody w basenie. Zdaje się że rachując na energiach da się jakoś uzasadnić, że tą prędkością jest \(\displaystyle{ u = \sqrt{2gh}}\), ale że nie jestem orłem z fizyki, nie potrafię tego zrobić w przekonujący sposób.

A dalej to już łatwizna, bo zostaje czysta matematyka. ;P

Niech \(\displaystyle{ h(t)}\) oznacza wysokość wody w basenie w chwili \(\displaystyle{ t}\). Przy zamkniętym odpływie i otwartym kranie mamy oczywiście \(\displaystyle{ h'(t) = \frac{H}{T}}\).

Z kolei przy otwartym odpływie i zamkniętym kranie nietrudno wyliczyć, że \(\displaystyle{ h'(t) = -\alpha u = -\alpha \sqrt{2gh(t)}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to stosunek pola przekroju odpływu do pola przekroju basenu. Rozwiązując równanie różniczkowe standardową metodą rozdzielania zmiennych, dostajemy

\(\displaystyle{ h(t) = \left( A - \alpha \sqrt{\frac{g}{2}} t \right)^2}\).

Z uwagi na warunki \(\displaystyle{ h(0) = H, h(T) = 0}\) mamy \(\displaystyle{ A = \sqrt{H}, \alpha = \frac{\sqrt{2H}}{T \sqrt{g}}}\), co po wstawieniu do początkowego równania daje

\(\displaystyle{ h'(t) = -\frac{2\sqrt{H}}{T} \sqrt{h(t)}}\).

W sytuacji opisanej w zadaniu - gdy zarówno kran, jak i odpływ są otwarte - powyższe efekty niezależnie się na siebie nakładają:

\(\displaystyle{ h'(t) = \frac{H}{T} - \frac{2\sqrt{H}}{T} \sqrt{h(t)}}\)

i \(\displaystyle{ h(0) = 0}\). A zatem wody w basenie przybywa dopóki \(\displaystyle{ \frac{H}{T} - \frac{2\sqrt{H}}{T} \sqrt{h(t)}> 0}\) czyli równoważnie \(\displaystyle{ h(t) < \frac{H}{4}}\). Można wykazać, co jest czynnością raczej techniczną, że wysokość wody nigdy nie osiąga wartości \(\displaystyle{ \frac{H}{4}}\), ale rośnie do niej gdy czas dąży do nieskończoności. Jeśli kogoś interesują te szczegóły, niech da znać, to może się przełamię i coś na ten temat napiszę. To odpowiada na dwa pierwsze pytania.

Aby odpowiedzieć na ostatnie, należy znów rozwiązać równanie różniczkowe, co tym razem skutkuje postacią uwikłaną

\(\displaystyle{ -\sqrt{\frac{h(t)}{H}} - \frac{1}{2} \ln \left( 1 - 2 \sqrt{\frac{h(t)}{H}} \right) = \frac{t}{T}}\).

Wstawiając \(\displaystyle{ h(t) = \frac{H}{5}}\) otrzymujemy, że basen był napełniony wodą w jednej piątej w chwili \(\displaystyle{ t = T \left( -\sqrt{\frac{1}{5}} - \frac{1}{2} \ln \left( 1 - 2\sqrt{\frac{1}{5}} \right) \right) \approx 0{,}677 \ T}\).

[janusz47]

Równanie Ewangelisty Torricellego dotyczące prędkości wypływu cieczy doskonałej (płynu doskonałego) z małego otworu w dużym naczyniu

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2g h} }\)

które "mówi", że prędkość ta jest taka sama jak przy swobodnym spadku ciała z wysokości \(\displaystyle{ h, }\)

otrzymuje się z równania Bernoulliego (przyjmując dodatkowe założenie \(\displaystyle{ v_{0} << v }\) )

Wyprowadzenie tego równania można znaleźć na przykład podręczniku fizyki

D. Halliday R. Resnick J.Walker Podstawy FIZYKI 2. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2003.

czy na przykład

w podstawach mechaniki płynów Ryszarda Grybosia. Tom 1 PWN. Warszawa 1998.

Dodano po 9 godzinach 54 minutach 21 sekundach:
W praktyce do obliczeń hydraulicznych w równaniu Torricellego występuje dodatkowo empiryczny współczynnik \(\displaystyle{ \mu - }\) współczynnik wydatku.

Równanie Torricellego ma wtedy postać:

\(\displaystyle{ v = \mu \sqrt{2gh} }\)

Wartości tego współczynnika są stablicowane. Zależą od kształtu otworu i jego średnicy (kształt kwadratowy, okrągły) i wysokości słupa płynu.

[korki_fizyka]

Skoro wydatki kranu i odpływu są takie same, to r-nie Torricellego nie ma zastosowania, bo nigdy nie będzie ciśnienia słupa wody, który by wpływał na szybkość jej odpływu ( h = 0) chyba, że źle zrozumiałem treść zadania. Niech się autor wypowie.

[janusz47]

Równanie Torricellego ma zastosowanie ( i w tym zadaniu). Wyprowadzając go z równania Bernoulliego możemy zauważyć, że cała wysokość \(\displaystyle{ h }\) słupa cieczy zmienia się na wysokość prędkości wypływu \(\displaystyle{ \frac{v^2}{2g}, }\) czyli cała różnica energii potencjalnych między wolnym zwierciadłem a wylotem zmienia się na energię kinetyczną cieczy, to jest nadanie jej prędkości.

Należy oczywiście pamiętać, że mamy do czynienia z cieczą doskonałą \(\displaystyle{ \mu =1. }\)

Jak pisze Jacek Mączyński w swoim podręczniku Mechanika płynów strona 74. PWN Warszawa 1966 - "równanie Torricellego można niekiedy zastosować do przepływu nieustalonego. Jest to logicznie błędne, jednakże praktycznie błąd popełniony przez pominięcie przyśpieszenia lokalnego jest często nieznaczny".

[Dasio11]

Skoro wydatki kranu i odpływu są takie same

A gdzie jest napisane, że są takie same?

[korki_fizyka]

Skoro wydatki kranu i odpływu są takie same

A gdzie jest napisane, że są takie same?

słówko "podobnie" w treści zadania to sugeruje..

[janusz47]

Zadanie zostało poprawnie rozwiązane przez Dasio dla \(\displaystyle{ \mu = 1 }\) i nie sugerujmy się słowem "podobnie".

[Dasio11]

W treści zadania jest tylko informacja, że całkowity czas opróżniania pełnego basenu jest taki sam jak całkowity czas napełniania go od zera. Ale to nie to samo co stwierdzenie, że woda napływa przez kran z taką samą prędkością co uchodzi przez odpływ, bo ta druga prędkość nie jest stała: przy dużej ilości wody wysokie ciśnienie powoduje jej szybsze odpływanie, niż kiedy basen jest prawie pusty.

Z informacji podanej w zadaniu wynika więc w szczególności, że kiedy kran i odpływ są otwarte, to:
- przy pełnym basenie poziom wody opada;
- przy pustym basenie poziom wody rośnie;
- istnieje stabilny poziom wody, tj. taki, przy którym szybkość napływania wody przez kran i prędkość jej uchodzenia są identyczne.

[kerajs]

Skoro wydatki kranu i odpływu są takie same, to r-nie Torricellego nie ma zastosowania, bo nigdy nie będzie ciśnienia słupa wody, który by wpływał na szybkość jej odpływu ( h = 0) chyba, że źle zrozumiałem treść zadania. Niech się autor wypowie.

Faktycznie, najbardziej problematyczna jest początkowa faza napełniania basenu. Założyłem, że dla głębokiego basenu prędkość wypływu wody z kranu będzie na tyle duża, iż falą zaleje odpływ, więc od razu prawo Torricellego będzie miało zastosowanie (przy okazji pozwalając na pominięcie innych zjawisk występujących na początku odpływania wody).

Miałem nadzieję, że zadanie będzie zinterpretowane tak, jak to powyżej opisał Dasio11.

PS
Właściciel basenu zamontował drugi kran który napełnia basen dwa razy szybciej niż pierwszy.
Po jakim czasie napełni się pusty basen jeśli oba krany i odpływ są otwarte?