Prędkość pocisku po przebiciu osłony
Prędkość pocisku po przebiciu osłony
Mam problem, jak obliczyć prędkość pocisku po przebiciu osłony, a dokładnie jak wyprowadzić wzór na takową prędkość?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prędkość pocisku po przebiciu osłony
Sformułowanie zadania
Osłonę o grubości \(\displaystyle{ d }\) przebija pocisk o masie \(\displaystyle{ m }\) z prędkością początkową \(\displaystyle{ v(0) = v_{0} }\) (w chwli uderzenia w osłonę).
Proszę obliczyć prędkość końcową pocisku \(\displaystyle{ v_{1} }\) po przebiciu osłony.
Zakładamy, że wartość siły oporu osłony \(\displaystyle{ F = k\cdot v^2 }\) - hamująca ruch pocisku jest proporcjonalna do kwadratu prędkości \(\displaystyle{ v }\) pocisku.
Rozwiązanie
Zakładamy ruch pocisku wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox. }\)
Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dv}{dt} = -kv^2 \ \ (1) }\)
z warunkami początkowymi:
\(\displaystyle{ v(0) = v_{0}, \ \ x(0) = 0. }\)
Podstawiamy w równaniu \(\displaystyle{ (1) }\) przyśpieszenie pocisku jako
\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot v \frac{dv}{dx} = -kv^2 \ \ (2) }\)
Równanie \(\displaystyle{ (2) }\) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ \frac{m}{k\cdot v} dv = - dx. }\)
Całkujemy obustronnie
\(\displaystyle{ \frac{m}{k} \int \frac{dv}{v} = -\int dx, }\)
\(\displaystyle{ \frac{m}{k} \ln|v| = -x + c_{1} \ \ (3) }\)
Stałą \(\displaystyle{ c_{1} }\) wyznaczamy z warunków początkowych:
\(\displaystyle{ \frac{m}{k}\ln (v_{0}) = c_{1} \ \ (4) }\)
Na podstawie \(\displaystyle{ (3), (4) }\)
\(\displaystyle{ \frac{m}{k} \ln(v) = -x + \frac{m}{k}\ln(v_{0}) }\)
\(\displaystyle{ x = \frac{m}{k} \ln\left( \frac{v_{0}}{v} \right) \ \ (5) }\)
Podstawiamy do równania \(\displaystyle{ (5) }\)
\(\displaystyle{ x = d, \ \ v = v_{1}. }\)
Mamy
\(\displaystyle{ d = \frac{m}{k} \ln\left (\frac{v_{0}}{v_{1}}\right) }\)
\(\displaystyle{ \frac{kd}{m} = \ln\left(\frac{v_{0}}{v_{1}}\right) }\)
\(\displaystyle{ \frac{v_{0}}{v_{1}} = e^{\frac{k\cdot d}{m}} }\)
\(\displaystyle{ v_{1} = \frac{v_{0}}{e^{\frac{k\cdot d}{m}}} = v_{0} e ^{-\frac{k\cdot d}{m}}. }\)
Osłonę o grubości \(\displaystyle{ d }\) przebija pocisk o masie \(\displaystyle{ m }\) z prędkością początkową \(\displaystyle{ v(0) = v_{0} }\) (w chwli uderzenia w osłonę).
Proszę obliczyć prędkość końcową pocisku \(\displaystyle{ v_{1} }\) po przebiciu osłony.
Zakładamy, że wartość siły oporu osłony \(\displaystyle{ F = k\cdot v^2 }\) - hamująca ruch pocisku jest proporcjonalna do kwadratu prędkości \(\displaystyle{ v }\) pocisku.
Rozwiązanie
Zakładamy ruch pocisku wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox. }\)
Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dv}{dt} = -kv^2 \ \ (1) }\)
z warunkami początkowymi:
\(\displaystyle{ v(0) = v_{0}, \ \ x(0) = 0. }\)
Podstawiamy w równaniu \(\displaystyle{ (1) }\) przyśpieszenie pocisku jako
\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot v \frac{dv}{dx} = -kv^2 \ \ (2) }\)
Równanie \(\displaystyle{ (2) }\) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ \frac{m}{k\cdot v} dv = - dx. }\)
Całkujemy obustronnie
\(\displaystyle{ \frac{m}{k} \int \frac{dv}{v} = -\int dx, }\)
\(\displaystyle{ \frac{m}{k} \ln|v| = -x + c_{1} \ \ (3) }\)
Stałą \(\displaystyle{ c_{1} }\) wyznaczamy z warunków początkowych:
\(\displaystyle{ \frac{m}{k}\ln (v_{0}) = c_{1} \ \ (4) }\)
Na podstawie \(\displaystyle{ (3), (4) }\)
\(\displaystyle{ \frac{m}{k} \ln(v) = -x + \frac{m}{k}\ln(v_{0}) }\)
\(\displaystyle{ x = \frac{m}{k} \ln\left( \frac{v_{0}}{v} \right) \ \ (5) }\)
Podstawiamy do równania \(\displaystyle{ (5) }\)
\(\displaystyle{ x = d, \ \ v = v_{1}. }\)
Mamy
\(\displaystyle{ d = \frac{m}{k} \ln\left (\frac{v_{0}}{v_{1}}\right) }\)
\(\displaystyle{ \frac{kd}{m} = \ln\left(\frac{v_{0}}{v_{1}}\right) }\)
\(\displaystyle{ \frac{v_{0}}{v_{1}} = e^{\frac{k\cdot d}{m}} }\)
\(\displaystyle{ v_{1} = \frac{v_{0}}{e^{\frac{k\cdot d}{m}}} = v_{0} e ^{-\frac{k\cdot d}{m}}. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prędkość pocisku po przebiciu osłony
Raczej funkcją liniową masy \(\displaystyle{ m }\) . W praktyce balistycznej oblicza się bezpośrednio \(\displaystyle{ e^{\frac{k}{m}}, }\) co znacznie upraszcza rachunki.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Prędkość pocisku po przebiciu osłony
Ekhm, januszu47, \(\displaystyle{ m}\) jest masą pocisku, nie masą osłony:
\(\displaystyle{ k}\) jest stałą charakteryzującą ośrodek który stawia opór, w tym przypadku osłonę. Może też oczywiście zależeć od pola przekroju pocisku i jego kształtu, ale w żadnym wypadku od jego masy. Ponadto \(\displaystyle{ k}\) nie zależy wprost od masy osłony, tylko od jej gęstości. Chyba, że twierdzisz iż osłona stawia małemu pociskowi dwa razy większy opór kiedy jest dwa razy większa... Stosując nomenklaturę termodynamiczną, \(\displaystyle{ k}\) jest wielkością intensywną, nie ekstensywną. Oczywiście gęstość można zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{M}{V}}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\) to masa osłony, a \(\displaystyle{ V}\) to jej objętość (przy założeniu, że osłona jest jednorodna), ale nikt w ten sposób nie robi.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prędkość pocisku po przebiciu osłony
\(\displaystyle{ m }\) - masa pocisku.
Współczynnik \(\displaystyle{ k }\) - oporu osłony
\(\displaystyle{ [k] =\left [\frac{kg}{m} \right ] }\)
Przykład
Pocisk M-193
\(\displaystyle{ m = 3,56 g, \ \ v_{0} = 1005 \frac{m}{s} }\)
Osłona stalowa: \(\displaystyle{ d = 3,5 mm, \ \ k = 0,40 \frac{kg}{m}, }\)
\(\displaystyle{ v_{1} = 1005 \left(\frac{m}{s}\right) \cdot e^{-\frac{0,40 \left(\frac{kg}{m}\right) \cdot 3,5\cdot 10^{-3} (m)}{3,56\cdot 10^{-3} (kg)}} \approx 678,2 \frac{m}{s}.}\)
Współczynnik \(\displaystyle{ k }\) - oporu osłony
\(\displaystyle{ [k] =\left [\frac{kg}{m} \right ] }\)
Przykład
Pocisk M-193
\(\displaystyle{ m = 3,56 g, \ \ v_{0} = 1005 \frac{m}{s} }\)
Osłona stalowa: \(\displaystyle{ d = 3,5 mm, \ \ k = 0,40 \frac{kg}{m}, }\)
\(\displaystyle{ v_{1} = 1005 \left(\frac{m}{s}\right) \cdot e^{-\frac{0,40 \left(\frac{kg}{m}\right) \cdot 3,5\cdot 10^{-3} (m)}{3,56\cdot 10^{-3} (kg)}} \approx 678,2 \frac{m}{s}.}\)
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Prędkość pocisku po przebiciu osłony
Czy Ty nabijasz sobie posty? Co z tego, że współczynnik \(\displaystyle{ k}\) ma w jednostce kilogramy? Nie może on być liniową funkcją masy pocisku, bo wtedy masa pocisku by się skróciła z równania różniczkowego ruchu. Jeśli \(\displaystyle{ k=Cm}\) to dostaniemy:
\(\displaystyle{ ma=-Cmv^2}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a=-Cv^2}\).
A to jest bzdura jawnie sprzeczna z Twoim rozwiązaniem!
Podsumujmy:
1. Autor tematu zapytał gdzie jest uwzględniona gęstość osłony.
2. Ty odpowiadasz, że współczynnik \(\displaystyle{ k}\) jest funkcją masy. Masy czego? Osłony?
3. Ja zauważam, że \(\displaystyle{ k}\) nie może być funkcją masy tylko gęstości osłony.
4. Ty piszesz, że \(\displaystyle{ k}\) jest liniową funkcją masy pocisku.
5. Kompletnie ignorujesz moje uwagi i podstawiasz do wzoru jakieś dane.
Wprowadzasz tym samym autora tematu w błąd. Proszę o zaprzestanie tego procederu.
\(\displaystyle{ ma=-Cmv^2}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a=-Cv^2}\).
A to jest bzdura jawnie sprzeczna z Twoim rozwiązaniem!
Podsumujmy:
1. Autor tematu zapytał gdzie jest uwzględniona gęstość osłony.
2. Ty odpowiadasz, że współczynnik \(\displaystyle{ k}\) jest funkcją masy. Masy czego? Osłony?
3. Ja zauważam, że \(\displaystyle{ k}\) nie może być funkcją masy tylko gęstości osłony.
4. Ty piszesz, że \(\displaystyle{ k}\) jest liniową funkcją masy pocisku.
5. Kompletnie ignorujesz moje uwagi i podstawiasz do wzoru jakieś dane.
Wprowadzasz tym samym autora tematu w błąd. Proszę o zaprzestanie tego procederu.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Prędkość pocisku po przebiciu osłony
@AiDi
Już powinieneś sie nauczyć, że z precyzją wypowiedzi u janusz47 bywa różnie. I jeżeli w jednym miejscu oznacza przez `m` masę pocisku, to nie znaczy to wcale, że we wzorze
Już powinieneś sie nauczyć, że z precyzją wypowiedzi u janusz47 bywa różnie. I jeżeli w jednym miejscu oznacza przez `m` masę pocisku, to nie znaczy to wcale, że we wzorze
`m` oznacza to samo. Mam czasem wrażenie, że janusz47 przegląda sterty podręczników i z przepisuje z nich wzory, które być może maja jakieś odniesienie do aktualnie rozwiązywanego zadania.Współczynnik `k` jest funkcją masy `m=V\rho`
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Prędkość pocisku po przebiciu osłony
Po pierwszej wypowiedzi też myślałem, że chodzi o masę osłony, ale po tej wypowiedzi:
Pojawiło się także i to:
Może to być argument za tym, że \(\displaystyle{ k}\) jest liniową funkcją gęstości ośrodka. Zderzenie z osłoną to proces lokalny, zatem \(\displaystyle{ k}\) powinno się uzależniać od wielkości intensywnych, a nie ekstensywnych.
wydaje mi się, że chodzi jednak o masę pocisku. A jeśli nie, to to zdanie jest kompletnie nie na temat i nie wiem po co znalazło się w poście. Niestety ciężko jest uzyskać informację, bo janusz47 zmienił kolejny raz temat i zaczął podstawiać dane ignorując kompletnie całą dyskusję.
Pojawiło się także i to:
co odebrałem jako uzasadnienie tego, że \(\displaystyle{ k}\) jest funkcją liniową masy (już nieważne której), co jest argumentem trochę chybionym. Jednostka indukcji magnetycznej też zawiera w sobie \(\displaystyle{ kg}\), ale to wcale nie oznacza, że pole magnetyczne jest liniową funkcją masy.
Może to być argument za tym, że \(\displaystyle{ k}\) jest liniową funkcją gęstości ośrodka. Zderzenie z osłoną to proces lokalny, zatem \(\displaystyle{ k}\) powinno się uzależniać od wielkości intensywnych, a nie ekstensywnych.