Wielkość pracy potrzebna do wykopania dziury w ziemi

[PAK]

Próbuję policzyć ilość pracy jaką należy wykonać aby wykopać głęboką dziurę w ziemi między jej powierzchnią \(\displaystyle{ R_z}\) i jakąś głębokością \(\displaystyle{ R}\) (możemy założyć że gęstość jest stała). Zakładam że siła grawitacji zmienia się liniowo: \(\displaystyle{ F_G(r) = \alpha \cdot m \cdot r}\) (\(\displaystyle{ \alpha}\) to jakaś stała, \(\displaystyle{ m}\) to masa ciała nad którą wykonujemy pracę). Zakładam również że całą masę przenosimy na powierzchnię. W jaki sposób powiązać \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ m}\) żeby to wycałkować ?

[pkrwczn]

\(\displaystyle{ \dd W = \gamma(r)r \dd m}\)
\(\displaystyle{ \dd m = \rho A dr}\)
\(\displaystyle{ W = \int_{0}^{h} \dd W = \rho A \int_{0}^{h} \gamma(r) r \dd r}\)
\(\displaystyle{ \gamma(r)}\) - natężenie pola grawitacyjnego, maleje liniowo wraz z głębokością. Przy powierzchni jest g=9.81 niutona na kilogram a w centrum spada do zera. Powienienneś założyć stałą wartość bo nie da się tak głęboko wykopać, żeby się to znacząco mnieniło (gęstość tam też jest inna).
\(\displaystyle{ A}\) to pole przekroju wykopu.
\(\displaystyle{ h}\) - głębokość po powierzchnią.
\(\displaystyle{ \rho}\) - gęstość ziemi (gleby?).

Ziemię wykopujemy ruchem jednostajnym, bez przyspieszeń i strat tak, że cała praca zmienia się w energię potencjalną.

[PAK]

Zakładam że dziura może być bardzo głęboka . Twój post uświadomił mi natomiast, że przecież mogę najpierw policzyć pracę na podstawie siły, a potem dopiero ją drugi raz wycałkować.

[kruszewski]

Przy założeniu liniowej zmiany "grawitacji" i niezmiennej gęstości masy można przyjąć średnią arytmetyczną wartość przyspieszenia \(\displaystyle{ g }\) a masę \(\displaystyle{ m}\) jaka będzie wydobyta umieścić na głębokości równej połowie głębokości otworu i napisać wzór na pracę wykonywaną w takich warunkach:
\(\displaystyle{ L= \frac{1}{2} m g_{śr} H}\),