Parametryczne równania ruchu punktu M.

[kjiunk]

Witajcie, mam problem z zadaniem z mechaniki ogólnej. Nie wiem jak wyznaczyć parametryczne równania ruchu punktu M. Podczas moich prób wyznaczyłem równania w ten sposób:

\(\displaystyle{ X_m=r\cos(\phi)+ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{ l^{2}- (r\sin(\phi))^{2} } }\)
\(\displaystyle{ Y_m= \frac{1}{2}r\sin(\phi) }\)

Nie mam pojęcia czy jest to dobrze zrobione, gdyż w dalszej części zadania, po obliczaniu pochodnych wychodzą bardzo skomplikowane wyrażenia.
Proszę o podpowiedź, czy jest to dobrze zrobione, a jeśli nie to co powinienem poprawić?

Link do zadania: (Wstawiam tak, ponieważ miałem problem ze wstawieniem poprawnego URL)

[kruszewski]

Można zauważyć, że:
\(\displaystyle{ x_M = r+l- ( \frac{1}{2} l)_x }\) oraz, że
\(\displaystyle{ \dot x_M = - \frac{d}{dt} \left( \sqrt{ \frac{l^2}{4} - \frac{r^2}{4} \sin ( \omega t) } \right) }\)
\(\displaystyle{ \dot y_M = \frac{d}{dt} \left( \frac{r}{2} \sin (\omega t) \right) }\)

i to, że: \(\displaystyle{ v_M = \sqrt{ \left( (\dot x)^2 + (\dot y)^2 \right)} }\)
i zmienną jest czas ruchu \(\displaystyle{ t}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ t=0; x_M = r + \frac{l}{2} }\)

[kjiunk]

Dzięki za odpowiedź, bardzo mi to pomogło

edit:
Nie rozumiem jeszcze jednego, dlaczego przy liczeniu pochodnej Xm jest -?

[kruszewski]

Nie wiem o co Kolega pyta? Czy o znak "minus" ? Jak tak, to znak przed trzecim składnikiem w równaniu jest "minus" co wynka z "dadawania" odcinków, ale też oznacza, że przy ruchu korby jak pokazuje strzałka i wektor prędkości kątowej \(\displaystyle{ \omega}\) zwrot składowej prędkości ruchu punktu równoległej do osi \(\displaystyle{ 0x}\) jest przeciwny do dodatniego zwrotu tej osi.

[kjiunk]

Pytałem o minus przy prędkości składowej Ox. Nie skojarzyłem po prostu skąd to się wzięło, ponieważ w poprzednich zadaniach liczyłem te wartości bez minusa (a później dopiero po analizie rysunku przy wypisywaniu wszystkich obliczonych wielkości dopasowywałem zwroty) Takie chwilowe zaćmienie Dziękuję jeszcze raz za odpowiedź.

[kruszewski]

ERRATA



Z rysunku można odczytać, że:
rzut drogi na oś 0x opisuje równanie:

\(\displaystyle{ S_{Mx} = r + \frac{l}{2} - r \cos (\omega t) - \frac{1}{2} \sqrt{ l^2 - r^2 \sin^2 (\omega t)} }\) ..... (1)

zaś na oś 0y :
\(\displaystyle{ S_{My} = \frac{1}{2} R \sin (\omega t)}\) .... (2)

stąd ich pochodne podług czasu ruchu dają następujące równania prędkości:

\(\displaystyle{ V_{Mx} = + r \sin (\omega t) - \frac{1}{2} \sqrt{ l^2 - r^2 \sin^2 (\omega t)} }\) .... (3)

\(\displaystyle{ V{My} = \frac{1}{2} R \cos (\omega t)}\) .... (4)

[siwymech]

Kod: Zaznacz cały

https://images91.fotosik.pl/376/83ef1e3e8f12a50cmed.jpg

Ruch dowolnego punktu po krzywej płaskiej można określić współrzędnymi \(\displaystyle{ r,\phi.}\).
Równania \(\displaystyle{ r(t), \phi(t),}\) nazywamy równaniami ruchu we współrzędnych biegunowych
\(\displaystyle{ \omega= \frac{d\phi}{dt} \Rightarrow \phi=\omega \cdot t }\)
...............................................................................................
1.Człony mechanizmu zastępujemy wektorami:\(\displaystyle{ \vec l _{OA}, \vec l _{AM}, \vec l _{OM} }\). Patrz rysunek
2.Suma wektorów
\(\displaystyle{ \vec l _{OM}= \vec l _{OA}+\vec l _{AM}}\)
3.Współrzędne punktu \(\displaystyle{ M( x _{M} , y _{M} )}\) położonego w środku długości łącznika \(\displaystyle{ AB}\).
\(\displaystyle{ x _{M} =l _{OA} \cdot \cos\phi+l _{AM} \cdot \cos\phi _{1} }\), (1)
\(\displaystyle{ y _{M}=l _{OA} \cdot \sin\phi+l _{AM} \cdot \sin\phi _{1} }\), (2)
..........................................................................................
Kąt obrotu łącznika \(\displaystyle{ \phi _{1} }\) wyrazimy poprzez znany kąt obrotu korby \(\displaystyle{ \phi}\) wykorzystując tw. sinusów - rozpatrujemy trójkąt AOB.
\(\displaystyle{ sin\phi _{1}= \frac{r \cdot \sin\phi}{l} }\), (3)
\(\displaystyle{ \cos\phi _{1} = \sqrt{1- \sin ^{2}\phi _{1} } }\), (4)
/Przyjęto kąt obrotu \(\displaystyle{ \phi _{1} }\) dodatnio zorientowany!)