Równanie różniczkowe wyższych rzędów

[Karolinaa0]

Wyznaczyć równanie ruchu, w którym przyspieszenie \(\displaystyle{ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} }\) jest wielkością stałą i wynosi \(\displaystyle{ 10 \frac{m}{s^{2}} }\). Wyznaczyć przebytą drogę w chwili \(\displaystyle{ t=2 s}\), jeśli w chwili \(\displaystyle{ t=0 s }\) przebyta droga \(\displaystyle{ x=0 m}\) i prędkość \(\displaystyle{ v=5 \frac{m}{s} }\).
Czy mogłabym prosić o jakieś wskazówki do tego zadania? Z góry bardzo dziękuję

[kerajs]

\(\displaystyle{ a(t)=x''=10\\
v(t)=x'=10t+v_0=10t+5\\
x(t)=5t^2+5t+x_0=5t^2+5t\\
x(2)=30 / m}\)

[kruszewski]

Wyniki poprawne ale skorzystałbym z warunku początkowego, bo najpewniej to miał na myśli zadający tak układając zadanie.
\(\displaystyle{ y'' = 10}\)
\(\displaystyle{ y' = 10t + C_1}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{10}{2} x^2 + C_1 x + C_2 }\)
przy warunkach i poczatkowych: \(\displaystyle{ dla \ t=0, \ y=0 ; \ dla \ t=0 , \ y' = 5}\)

[Karolinaa0]

A jakie rownanie trzeba by było ułożyć, żeby skorzystać z warunku początkowego?

[kruszewski]

Z warunków pczątkowych oblicza się stałe całkowania a nie pisze dla nich nowych równań.

[kerajs]

Gdybym robił tak:
\(\displaystyle{ x''=a\\
x'=at+b\\
x= \frac{1}{2}at^2+bt+c }\)
wiedziałabyś co wstawiać za a,b,c ?

alternatywnie:
\(\displaystyle{ x''=a\\
x'=at+v_0\\
x= \frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0 }\)
I teraz wstaw znane i wylicz nieznane stałe.

PS
Nie rozpisuję kolejnych całkowań, gdyż potrafisz je robić w głowie.

[siwymech]

Kolejne kroki do wyznaczenia równania ruchu
1.Opisany ruch- ruch jednostajnie zmienny, mamy bowiem z warunku zadania
\(\displaystyle{ a= \frac{d ^{2}x }{dt ^{2} }= \frac{dv}{dt}= const }\), stąd
\(\displaystyle{ dv=a \cdot dt}\), (1)
Całkujemy równanie (1) i uwzgl. położenie początkowe i końcowe
\(\displaystyle{ \int\limits_{v _{o} }^{v}dv=a\int\limits_{t_{o}=0 }^{t}dt}\), znajdujemy prędkość ruchu
\(\displaystyle{ v=v _{o}+at}\), (2)
2. Przekształcamy równanie (2), wykorzystujac pojęcie prędkości- \(\displaystyle{ v= \frac{dx}{dt} }\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ dx=(v _{o} +at)dt}\), (3)
2.1. Całkujemy równanie (3), uwzgl. położenie początkowe i końcowe i otrzymujemy szukane równanie ruchu
\(\displaystyle{ \int\limits_{x _{o} }^{x}dx=\int\limits_{t_{o}=0 }^{t}( v _{o}+at) dt=\int\limits_{t_{o}=0 }^{t} v _{o} \cdot dt+\int\limits_{t_{o}=0 }^{t} at \cdot dt}\),
\(\displaystyle{ x=x _{o} +v _{o} t+ \frac{at ^{2} }{2} }\), (4)
...............................................................