okres obrotu tarczy bryła sztywna

[Niepokonana]

Dzień dobry
Proszę o wyjaśnienie zadania.
"Jak zmieni się okres obrotu tarczy, jeżeli na początku wirowała z odważnikiem przyklejonym tuż przy brzegu od dołu, a potem się ten odważnik odkleił?" masa tarczy - \(\displaystyle{ m=0,5kg}\) \(\displaystyle{ r =0,22m}\) i masa odważnika to \(\displaystyle{ m_{1}=0,2 kg}\).
W odpowiedzi jest, że się nie zmieni, więc ja się pytam dlaczego?

[janusz47]

Dzień Dobry

Jaki jest początkowy moment pędu tarczy \(\displaystyle{ L_{1}? }\)

Zakładając, że jej okre obrotu wynosi \(\displaystyle{ T_{1}.}\)

[Niepokonana]

To będzie \(\displaystyle{ L_{1}=(I+I_{1})\cdot \omega _{1}= (I+I_{1})\cdot \frac{2\pi }{T} }\)

[janusz47]

A skąd się wzięła suma momentów bezwładności \(\displaystyle{ I + I_{1} ? }\)

[Niepokonana]

A dlaczego nie? Jak mamy taki przypadek, że są ciała złączone to ich momenty bezwładności się sumują. W innym podpunkcie tego zadania obciążnik był na górze, a nie od dołu i się zsumowały. To dlaczego teraz nie?

[janusz47]

Wyprzedziła Pani moje pytania.

Pytałem o początkowy moment pędu tarczy bez odważnika

\(\displaystyle{ L_{1} = I_{t}\cdot \omega_{1} = \frac{1}{2} m_{t}\cdot \frac{2\pi}{T_{1}}= \frac{\pi \cdot m_{t} \cdot r^2}{T_{1}} }\)

Potem miałem zapytać, jaki jest moment pędu tarczy z odważnikiem?

Pani wzór to moment pędu tarczy z odważnikiem

\(\displaystyle{ L_{2}= I_{c} \cdot \omega_{2} = (I_{t} + I_{o})\cdot \omega _{2}= \left( \frac{1}{2}m_{t}\cdot r^2 + m_{o}\cdot r^2\right) \cdot \frac{2\pi}{T_{2}} }\)

Z prawa zachowania momentów pędu

\(\displaystyle{ L_{1} = L_{2} }\)

proszę obliczyć iloraz \(\displaystyle{ \frac{T_{2}}{T_{1}} }\) okresów obrotu tarczy.

[Niepokonana]

Ale w początkowym momencie pędu ona ma odważnik, dopiero później on odpada.

[janusz47]

W podpunkcie a) zadania mamy porównać jak zmieni się okres obrotu tarczy wirującej bez odważnika i tarczy z położonym na jej brzegu odważnikiem.

[Niepokonana]

Ale podpunkt a już zrobiłam i mi wyszło. Tylko nie rozumiem, dlaczego w podpunkcie b jest inaczej.

[janusz47]

Jest tak samo, należy zmienić iloraz okresów obrotu tarczy na odwrotny.

[Niepokonana]

To może najpierw policzmy \(\displaystyle{ T_{1}}\) i \(\displaystyle{ T_{2}}\).
\(\displaystyle{ T_{1}= \frac{(I+I_{1})\cdot 2\pi }{L}}\), a \(\displaystyle{ T_{2}= \frac{I\cdot 2\pi }{L} }\)
Dobrze?

[janusz47]

\(\displaystyle{ L_{1} = \frac{\pi m_{t} \cdot r^2}{T_{1}}}\)

\(\displaystyle{ L_{2} = \left( \frac{1}{2}m_{t} r^2 + m_{o}r^2 \right)\cdot \frac{2\pi}{T_{2}} }\)

Sprowadzamy do wspólnego mianownika składniki sumy w nawiasie i dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 2 }\)

\(\displaystyle{ L_{2} = \frac{(m_{t} + 2 m_{o})\pi r^2}{T_{2}}}\)

\(\displaystyle{ L_{1} = L_{2} }\)

\(\displaystyle{ \frac{ m_{t} \cdot \pi r^2}{T_{1}} = \frac{(m_{t} + 2m_{o})\pi r^2}{T_{2}} }\)

\(\displaystyle{ \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{(m_{t} + 2m_{o})\pi \cdot r^2}{ m_{t} \cdot \pi \cdot r^2} }\)

Dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \pi r^2 }\)

\(\displaystyle{ \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{m_{t} +2m_{o}}{m_{t}} = 1 + 2 \frac{m_{o}}{m_{t}} }\)

Po podstawieniu danych liczbowych

\(\displaystyle{ \frac{T_{2}}{T_{1}} = 1 + 2\cdot \frac{0,2 (kg)}{0,5 (kg)} = 1,8 }\) razy.

b)

Jeśli tarcza będzie wirowała najpierw z przyklejonym odważnikiem, a potem odważnik odklei się od jej spodu to nie ma znaczenia, czy odważnik przyklejony od spodu tarczy czy znajduje się na jej wierzchu. Momenty pędów są stałe lecz zmieni się iloraz na odwrotny

\(\displaystyle{ \frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{1}{1,8} }\)

Okres obrotu układu zmaleje \(\displaystyle{ 1, 8 }\) razy. W odpowiedzi zbioru jest błąd - zmieni się. Powinno być okres obrotu tarczy zmaleje \(\displaystyle{ 1,8 }\) razy.

[Niepokonana]

Czyli jest źle, dziękuję bardzo za odpowiedź.

[janusz47]

W podpunkcie b) jest odpowiedź błędna.

[AiDi]

Odpowiedź w książce jest jak najbardziej poprawna. To zadanie pojawia się w zbiorze zadań WSiPu (stary ZamKor) i lubię je zadawać moim uczniom właśnie ze względu na punkt b. Najpierw w punkcie a rozpatrywana jest sytuacja w której na wirującą tarczę zrzucony został początkowo spoczywający klocek. Zatem tarcza trochę zwolniła bo zadziałała siła tarcia która rozpędziła klocek tak, że ostatecznie wirował on razem z tarczą. W punkcie b klocek po oderwaniu się od tarczy porusza się dalej prostoliniowo (pomijając grawitację) z taką samą prędkością jaką miał na chwilę przed odpadnięciem. Zatem jego moment pędu się nie zmieni, a więc i moment pędu tarczy się nie zmieni. Zachowanie klocka można porównać do zachowania wirującej na sznurku kulki w sytuacji w której sznurek się urywa. Kulka leci prosto po stycznej do okręgu i jej moment pędu (liczony względem odpowiedniej osi) jest taki sam jak na początku.