Kulka na nieważkiej nitce

[lola456]

Kulka przymocowana jest na nieważkiej nierozciągliwej nici o
długości \(\displaystyle{ l = 5 m}\), jak na rysunku. Po uwolnieniu porusza się po torze
zaznaczonym linią przerywaną.
a) Obliczyć prędkość kulki w najniższym punkcie toru.
b) W jakiej minimalnej odległości d w pionie od miejsca
zamocowania kulki powinien być umieszczony pręt prostopadły
do toru ruchu kulki aby kulka zatoczyła wokół niego pełny
okrąg?

Zakładam, że prędkość początkowa kulki ma jakąś wartość i potrzebuję jej aby wyliczyć chociażby podpunkt a, natomiast nie wiem w jaki sposób.
Proszę o pomoc.

[korki_fizyka]

Skoro została uwolniona, to znaczy, że początkowa prędkość była równa zeru. Skorzystaj z ZZEnergii.
\(\displaystyle{ \frac{mv^2}{2} = mgl \Rightarrow v = \sqrt{2gl} }\)

[lola456]

OK !
A jeżeli chodzi o drugą część zadania to należy wykorzystać zasadę zachowania momentu pędu czy to nie pójdzie w tę stronę?

[janusz47]

Kulka przymocowana jest na nieważkiej nierozciągliwej nici o długości \(\displaystyle{ l = 5m.}\) Po uwolnieniu porusza się po torze zaznaczonym linią przerywaną.

a) Obliczyć prędkość kulki w najniższym punkcie toru.

b) W jakiej minimalnej odległości d w pionie od miejsca zamocowania kulki powinien być umieszczony pręt prostopadły
do toru ruchu kulki aby kulka zatoczyła wokół niego pełny okrąg?

Dane:

\(\displaystyle{ l = 5m }\)

b)

Obliczyć

\(\displaystyle{ d, \ \ d< l }\) - minimalną odległość w pionie od miejsca zamocowania kulki, w której powinien być umieszczony pręt prostopadły do toru ruchu kulki.

Analiza zadania

Aby kulka mogła zatoczyć pełny okrąg wokół prostopadłego pręta, musi znajdować się w ciągłym ruchu w najwyższym punkcie toru, po owinięciu się nici wokół pręta.

Z zasady zachowania energii mechanicznej, znajdujemy wartość prędkości kulki \(\displaystyle{ v }\) w najwyższym punkcie toru \(\displaystyle{ P }\)

\(\displaystyle{ N + m\cdot g = \frac{m\cdot v^2}{l -d } \ \ (1) }\)

Wartość siły naprężenia nici w najwyższym punkcie toru \(\displaystyle{ N = 0.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ m\cdot g = \frac{m\cdot v^2}{l -d }}\)

\(\displaystyle{ v = \sqrt{ g\cdot (l -d)}. }\)

Analizując ruch kulki w grawitacyjnym polu Ziemi, możemy napisać równanie zachowania energii

\(\displaystyle{ E_{graw.\ \ pot. \ \ pocz.} + E_{kin. \ \ pocz.} = E_{graw. \ \ pot. \ \ końc.} + E_{kin.\ \ końc.} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot g \cdot l + 0 = 2m\cdot g (l -d) + \frac{1}{2}m\cdot g(l-d). }\)

Dzieląc to równanie przez czynnik \(\displaystyle{ m\cdot g }\) dostajemy

\(\displaystyle{ l = 2(l-d) + \frac{1}{2} (l - d )}\)

\(\displaystyle{ l = 2l -2d + \frac{1}{2}l - \frac{1}{2}d }\)

\(\displaystyle{ \frac{5}{2}d =\frac{3}{2} l }\)

\(\displaystyle{ d = \frac{3}{5}l. }\)

Żeby kulka mogła zatoczyć okrąg - prostopadły pręt powinien być umieszczony w odległości \(\displaystyle{ d > \frac{3}{5}l,}\) wtedy najwyższy punkt \(\displaystyle{ P}\) obrotu kulki znajdzie się niżej i kulka osiągnie prędkość większą od wartości prędkości \(\displaystyle{ v, }\) pozwalającą na zatoczenie pełnego okręgu.
Gdy \(\displaystyle{ d < \frac{3}{5}l }\) kulka nie wykona obrotu. Możemy powiedzieć, że wartość \(\displaystyle{ d= \frac{3}{5}l }\) stanowi granicę dolną odległości.

[korki_fizyka]

Teraz już chyba wszystko zrozumiałaś?

[janusz47]

Dziękuję Panie Wiesławie.

[lola456]

Tak tak, teraz już dla mnie wszystko jasne, serdecznie dziękuję za odpowiedź


Mam jeszcze tylko jedno pytanie:
Skąd tutaj wzięła się ta 2 ?

\(\displaystyle{ E_{graw.\ \ pot. \ \ pocz.} + E_{kin. \ \ pocz.} = E_{graw. \ \ pot. \ \ końc.} + E_{kin.\ \ końc.} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot g \cdot l + 0 = 2m\cdot g (l -d) + \frac{1}{2}m\cdot g(l-d). }\)