Matematyka.pl

Obliczyć promień planety o takiej samej gęstości i okresie obrotu jak Ziemia, dla której ciała znajdujące się na równiku są w stanie nieważkości.

Ciała na równiku będą w stanie nieważkości (nic nie ważyły), wtedy, gdy prędkość kątowa planety w obrocie wokół swej własnej osi wzrośnie na tyle, że siła dośrodkowa (odśrodkowa bezwładności) \(\displaystyle{ F_{d} }\) zrównoważy siłę grawitacji \(\displaystyle{ F_{g} }\)

\(\displaystyle{ F_{d} = F_{g} }\)

\(\displaystyle{ \frac{m\cdot v^{2}}{R} = G \frac{m\cdot M}{R^{2}}| \cdot \frac{1}{m} }\)

\(\displaystyle{ \frac{(\omega \cdot R)^{2}}{R} = G\frac{M}{R^{2}} }\)

\(\displaystyle{ \omega^2 \cdot R = G\frac{M}{R^{2}} }\)

\(\displaystyle{ R^3 = \frac{G\cdot M}{\omega^{2}} }\)

\(\displaystyle{ R = \sqrt[3]{\frac{GM}{ \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2}} }\)

\(\displaystyle{ R = \sqrt[3]{\frac{G\cdot M \cdot T^{2}}{4\pi^2}} }\)

Proszę podstawić dane liczbowe:

\(\displaystyle{ G\cdot M = 4\cdot 10^{14}\frac{m^3}{s^2} }\)

\(\displaystyle{ T = 24h = 24\cdot 3600 s. }\)

Rozwiązanie janusza47 jest oczywiście poprawne, ale wymaga modyfikacji. Czemu? Dlatego, że nie wiemy, czy masa tej planety jest równa masie Ziemi; jedynie ich gęstości są równe. Wystarczy w tym celu w równaniu \(\displaystyle{ R^3 = \frac{G \dot M}{{\omega}^2}}\) wstawić za masę \(\displaystyle{ M}\), przy założeniu, że planeta ta jest kulą, \(\displaystyle{ \frac{4 \pi R^3 \varrho}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varrho}\) to gęstość Ziemi.

Uwzględniliśmy iloczyn (stałej grawitacji i masy Ziemi) \(\displaystyle{ G\cdot M = 4\cdot 10^{14} \frac{m^3}{s^2} }\). Nie ma więc potrzeby oddzielnego wyrażania masy Ziemi przez jej gęstość.

W sposobie rozwiązania zadania zakłada się, że Ziemia jest kulą.

Ale ta planeta nie ma masy Ziemi, skoro ma tę samą gęstość i inny promień. Twoje rozwiązanie nie zakłada takiej samej gęstości, tylko taką samą masę, wbrew treści zadania.

Oczywiście, oba rozwiązania są błędne.

Oba starannie unikają przerażającej kwestii zniknięcia szukanego promienia:
\(\displaystyle{ \frac{v^2}{R}=G \frac{ \frac{4}{3} \pi R^3\rho }{R^2} \\
\frac{( \frac{2 \pi R}{T} )^2}{R}=G \frac{ \frac{4}{3} \pi R^3\rho }{R^2} \\
3 \pi =GT^2\rho}\)
A zupełnie niepotrzebnie, gdyż wstawiając odpowiednie \(\displaystyle{ T }\) i \(\displaystyle{ \rho}\) od razu widać że równość nie zachodzi. Ba! Prawa strona jest kilka rzędów większa.
Konkluzja jest taka sama jak o wyspach Bergamutach.

Z treści zadania wynika, że planeta ma taką samą gęstość i okres obrotu jak Ziemia.

No właśnie, a z Twojego rozwiązania wynika, że ma taką samą masę, a nie gęstość. No i dochodzi słuszna uwaga kerajsa. Treść jest do bani.

AiDi pisze: ↑26 mar 2020, o 21:14 Treść jest do bani.

Mam inne zdanie. Zadanie nie jest standardowe, wymaga interpretacji dziwnego wyniku i może być pułapką dla uczniów bezmyślnie przekształcających wzory.

PS
Ciekawe ilu abiturientów napisałoby na maturze z fizyki że taka planeta nie istnieje?