Znaleźć prędkość równi, gdy ciało się z niej zsunie

[lola456]

Ciało o masie m spoczywa na równi pochyłej o masie \(\displaystyle{ M}\), wszystkie powierzchnie są doskonale gładkie, również stołu na którym spoczywa równia. Układ ten rozpoczyna ruch ze stanu spoczynku, gdy ciało znajduje się na wysokości\(\displaystyle{ h}\) na równi. Znaleźć prędkość równi w chwili gdy ciało zsunie się całkowicie z równi.

Myślę, że należy tutaj porównać energię kinetyczną i potencjalną.
dla klocka \(\displaystyle{ Ep = mgh}\)

dla równi Ek = \frac{Mv^2}{2}
a więc cała energia układu to ich suma \(\displaystyle{ mgh + \frac{Mv^2}{2} }\)

I teraz mam, że \(\displaystyle{ mgh + \frac{Mv^2}{2} = 0 + \frac{M v_{k} ^{2} }{2} }\)

Czy powyższe równanie jest poprawne?

[korki_fizyka]

Kod: Zaznacz cały

http://www.januszszczachor.cba.pl/zadania/cialo-o-masie-zsuwa-sie.php

[janusz47]

Ciało o masie m spoczywa na równi pochyłej o masie \(\displaystyle{ M}\), wszystkie powierzchnie są doskonale gładkie, również stołu na którym spoczywa równia. Układ ten rozpoczyna ruch ze stanu spoczynku, gdy ciało znajduje się na wysokości \(\displaystyle{ h }\) na równi. Znaleźć prędkość równi w chwili gdy ciało zsunie się całkowicie z równi.

Dane

\(\displaystyle{ m, M, h }\)

Obliczyć

\(\displaystyle{ V }\) - prędkość równi w chwili, gdy ciało zsunie się całkowicie z równi.

Analiza zadania

Mamy układ złożony, z równi, znajdującego się na niej ciała i Ziemi.
Ponieważ z założenia wszystkie powierzchnie są doskonale gładkie - zaniedbujemy tarcie.

Rozwiązanie

Z zasady zachowania energii mechanicznej wynika równanie

\(\displaystyle{ E_{pot.\ \ pocz.} + E_{kin. \ \ pocz.} = E_{pot. \ \ końc.} + E_{kin.\ \ końc.} }\)

\(\displaystyle{ m \cdot g \cdot h + 0 = 0 + \frac{1}{2}m\cdot (v^2_{x} + v^2_{y}) +\frac{1}{2} M \cdot V^2 \ \ (1)}\)

Przy zsuwaniu się ciała równia przemieszcza się się w lewo. Wartość składowej poziomej prędkości ciała względem równi wynosi \(\displaystyle{ v_{x} +V }\) Wektor prędkości ciała względem równi jest skierowany wzdłuż jego powierzchni i dlatego wartość składowej pionowej prędkości jest równa

\(\displaystyle{ v_{y} = (v_{x} +v)\cdot \tg(\alpha) \ \ (2)}\)

Związek, pomiędzy wartościami prędkości \(\displaystyle{ v_{x} }\) i \(\displaystyle{ V }\) znajdujemy z warunku zachowania składowej poziomej pędu układu, wynikający z faktu że środek masy układu nie przemieszcza się w kierunku poziomym

\(\displaystyle{ m \cdot v_{x} = M\cdot V \ \ (3)}\)

Podstawiamy do równania \(\displaystyle{ (1) }\) równania \(\displaystyle{ (2) , (3) }\)

\(\displaystyle{ m\cdot g \cdot h = \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{M\cdot V}{m}\right)^2 + \left( \frac{MV}{m} +V \right)^2\tg^2(\alpha) + \frac{M\cdot V^{2}}{2} \right] }\)

\(\displaystyle{ 2mgh = V^2 \left[ \left(\frac{M}{m}\right)^2 + \left(\frac{M}{m} + 1\right)^2\cdot \tg^{2}(\alpha) + \frac{M}{2} \right] }\)

\(\displaystyle{ V = \sqrt{ \frac{2mgh}{\left(\frac{M}{m}\right)^2 + \left(\frac{M}{m} + 1\right)^2\cdot \tg^{2}(\alpha) + \frac{M}{2} }}.}\)