Punkt materialny o masie \(\displaystyle{ m}\) puszczono bez prędkości początkowej z wysokości \(\displaystyle{ h.}\) Wyznaczyć prędkość ciała w funkcji jego położenia jeżeli wiadomo, że ośrodek w którym porusza się ciało stawia opór:
a) \(\displaystyle{ R=kmv^2}\)
b) \(\displaystyle{ R=kmv}\)
\(\displaystyle{ ma=mg-kmv^2}\)
\(\displaystyle{ a=g-kmv^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \dd x }{ \dd t}=g-kv^2}\)
\(\displaystyle{ \dd x =g-kv^2 \dd t }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \dd x }{g-kv^2}=\dd t }\)
nie wiem co dalej... czy wgl tak jak robię jest poprawnie, ktoś wie jak takie zadanie zrobić/dokończyć?
Dynamika punktu materialnego
Dynamika punktu materialnego
Ostatnio zmieniony 22 lut 2020, o 21:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
korki_fizyka
- Użytkownik
- Posty: 656
- Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 74 razy
Re: Dynamika punktu materialnego
W drugiej linijce masz już błąd \(\displaystyle{ a =\frac{dv}{dt}}\) a dalej search.php?st=0&sk=t&sd=d&sr=posts&keywords=221617
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dynamika punktu materialnego
a)
\(\displaystyle{ m\frac{dv}{dt} = mg - kmv^2 \ \ (1) }\)
Przy warunkach początkowych:
\(\displaystyle{ z(0) = h, \ \ v(0) = 0 }\)
Mnożymy obustronnie równanie \(\displaystyle{ (1) }\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{m} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt} = g - k\cdot v^{2} \ \ (2) }\)
W chwili \(\displaystyle{ t = 0 }\) działa tylko siła ciężkości (\(\displaystyle{ v(0) = 0). }\)
Dla \(\displaystyle{ t>0 }\) zaczyna działać siła oporu ośrodka , która jest przeciwnie skierowana do siły ciężkości \(\displaystyle{ (v< 0). }\)
Z upływem czasu jej wartość wzrasta. Występuje taki moment, w którym siła tarcia oporu ośrodka zrównoważy siłę ciężkości
\(\displaystyle{ mg - kmv^2 = 0, }\)
tzn. przyśpieszenie punktu materialnego będzie równe zeru i punkt będzie poruszał się ruchem jednostajnym z prędkością graniczną o wartości
\(\displaystyle{ v_{g} = \sqrt{\frac{g}{k}} .}\)
Sprawdźmy, czy rozwiązanie równania pokrywa się z jego interpretacją fizyczną.
W tym celu znajdziemy jego całkę szczególną.
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych
\(\displaystyle{ \frac{dv}{g - kv^2} = dt \ \ (3)}\)
Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (3) }\) obustronnie
\(\displaystyle{ \int \frac{dv}{g - kv^2} = \int dt \ \ (4)}\)
Całkę występującą po lewej stronie równania znajdziemy metodą rozkładu funkcji podcałkowej na sumę dwóch ułamków prostych.
\(\displaystyle{ \frac{1}{g - kv^2} = \frac{1}{(\sqrt{g})^{2} - (\sqrt{k}v)^{2}} = \frac{A}{\sqrt{g} + \sqrt{k} v}+ \frac{B}{\sqrt{g} -\sqrt{k}v} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ A(\sqrt{g} + \sqrt{k}v) + B(\sqrt{g} - \sqrt{k}v) = 1 }\)
\(\displaystyle{ (A -B)\sqrt{k}v + (A + B)\sqrt{g} = 1 }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A - B = 0 \\ A +B = 1 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A = \frac{1}{2} \\ B =\frac{1}{2} \end{cases} }\)
Z \(\displaystyle{ (4) }\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dv}{g - kv^2} = \frac{1}{2} \int\frac{dv}{\sqrt{g} + \sqrt{k} v} + \frac{1}{2} \int\frac{dv}{\sqrt{g} - \sqrt{k}v} = t + \ln(C) }\)
Stosujemy podstawienia
\(\displaystyle{ \sqrt{g} + \sqrt{k}v = y, \ \ \sqrt{k}dv = dy, \ \ dv = \frac{dy}{\sqrt{k}} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{g} - \sqrt{k}v = u, \ \ -\sqrt{k}dv = du, \ \ dv = -\frac{du}{\sqrt{k}} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{k}} \int\frac{dy}{y} - \frac{1}{2\sqrt{k}} \int\frac{du}{u} = t + \ln(C) }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{k}} \left(\ln(y) - \ln(u) \right) = t + \ln(C) }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{k}} \ln\left(\frac{y}{u}\right) = t + \ln(C) }\)
\(\displaystyle{ \ln\left(\frac{\sqrt{g} +\sqrt{k}v}{\sqrt{g}- \sqrt{k}v} \right)^{\frac{1}{\sqrt{k}}} = t + \ln(C) }\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{g} + \sqrt{k}v}{ \sqrt{g} -\sqrt{k}v} \right)^{\frac{1}{\sqrt{k}}} = Ce^{t} }\)
Z warunku początkowego \(\displaystyle{ v(0) = 0 }\) stała \(\displaystyle{ C = 1.}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{g} + \sqrt{k}v}{ \sqrt{g} -\sqrt{k}v} \right)^{\frac{1}{\sqrt{k}}} = e^{t} \ \ (5) }\)
Z równania \(\displaystyle{ (5) }\) wyznaczamy prędkość punktu materialnego \(\displaystyle{ v }\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{g} + \sqrt{k}v}{ \sqrt{g} -\sqrt{k}v} \right) = e^{2t\sqrt{k}} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{g} +\sqrt{k}v = \sqrt{g} e^{2t\sqrt{k}} -\sqrt{k} e^{2t\sqrt{k}} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{k}\left(e^{2t\sqrt{k}} +1 \right) v = \sqrt{g} \left( e^{2t\sqrt{k}} -1 \right)}\)
\(\displaystyle{ v(t) =\frac{e^{2t\sqrt{k}} -1}{e^{2t\sqrt{k}}+1} \sqrt{\frac{g}{k}} }\)
Z równania tego wynika, że prędkość graniczna \(\displaystyle{ v_{gr} = \lim_{t\to \infty} v(t) = \sqrt{\frac{g}{k}} }\)
b)
\(\displaystyle{ m\frac{dv}{dt} = mg - kmv \ \ (*) }\)
Przy warunkach początkowych:
\(\displaystyle{ z(0) = h, \ \ v(0) = 0 }\)
Mnożymy obustronnie równanie \(\displaystyle{ (*) }\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{m} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt} = g - k\cdot v \ \ ( 6) }\)
\(\displaystyle{ \frac{ dv}{dt} + 2\gamma v = g \ \ (7) }\)
\(\displaystyle{ \gamma = \frac{k}{2} }\)
Przeanalizujmy równanie \(\displaystyle{ (*) }\)
W chwili \(\displaystyle{ t = 0 }\) działa tylko siła ciężkości (\(\displaystyle{ v(0) = 0). }\)
Dla \(\displaystyle{ t>0 }\) zaczyna działać siła oporu ośrodka , która jest przeciwnie skierowana do siły ciężkości \(\displaystyle{ (v< 0). }\)
Z upływem czasu jej wartość wzrasta. Występuje taki moment, w którym siła tarcia oporu ośrodka zrównoważy siłę ciężkości
\(\displaystyle{ mg - kmv = 0, }\)
tzn. przyśpieszenie punktu materialnego będzie równe zeru i punkt będzie poruszał się ruchem jednostajnym z prędkością graniczną o wartości
\(\displaystyle{ v_{g} = \frac{g}{k} = \frac{g}{2\gamma}.}\)
Sprawdźmy, czy rozwiązanie równania pokrywa się z jego interpretacją fizyczną.
Po prawej stronie równania \(\displaystyle{ (7) }\) występuje stała wielkość \(\displaystyle{ g. }\)
Podstawiając
\(\displaystyle{ v(t) = \xi(t) + \alpha, \ \ \alpha = const. }\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{d\xi}{dt} + 2\gamma \xi + 2\gamma \alpha = g }\)
Podstawiając za \(\displaystyle{ \alpha = \frac{g}{2\gamma},}\) otrzymujemy względem zmiennej \(\displaystyle{ \xi(t) }\) równanie
\(\displaystyle{ \frac{d\xi}{dt} +2\gamma \xi = 0 \ \ (8) }\) (równanie liniowe jednorodne)
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ (8) }\) metodą rozdzielenie zmiennych
\(\displaystyle{ \frac{d\xi}{\xi} = -2\gamma dt }\)
\(\displaystyle{ \int \frac{d\xi}{\xi} = - 2\int \gamma dt }\)
\(\displaystyle{ \ln(\xi) = -2\gamma t + A }\)
\(\displaystyle{ \xi(t) = Ce^{-2\gamma t}, \ \ C = e^{A} = const.}\)
\(\displaystyle{ v(t) = \frac{g}{2\gamma} + Ce^{-2\gamma t} }\)
Stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczamy z warunku początkowego \(\displaystyle{ v(0) = 0 }\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ C = \frac{g}{2\gamma}.}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ v(t) = \frac{g}{2\gamma} + \frac{g}{2\gamma} e^{-2\gamma t} }\)
\(\displaystyle{ v(t) = \frac{g}{2\gamma}\left( e^{-2\gamma t} +1 \right) \ \ (9)}\)
Z równania \(\displaystyle{ (9) }\) wynika, że prędkość graniczna jest osiągana asymptotycznie przy \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty }\)
\(\displaystyle{ v_{g} = \lim_{t\to \infty} v(t) = \frac{g}{2\gamma} = \frac{g}{k}.}\)
\(\displaystyle{ m\frac{dv}{dt} = mg - kmv^2 \ \ (1) }\)
Przy warunkach początkowych:
\(\displaystyle{ z(0) = h, \ \ v(0) = 0 }\)
Mnożymy obustronnie równanie \(\displaystyle{ (1) }\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{m} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt} = g - k\cdot v^{2} \ \ (2) }\)
W chwili \(\displaystyle{ t = 0 }\) działa tylko siła ciężkości (\(\displaystyle{ v(0) = 0). }\)
Dla \(\displaystyle{ t>0 }\) zaczyna działać siła oporu ośrodka , która jest przeciwnie skierowana do siły ciężkości \(\displaystyle{ (v< 0). }\)
Z upływem czasu jej wartość wzrasta. Występuje taki moment, w którym siła tarcia oporu ośrodka zrównoważy siłę ciężkości
\(\displaystyle{ mg - kmv^2 = 0, }\)
tzn. przyśpieszenie punktu materialnego będzie równe zeru i punkt będzie poruszał się ruchem jednostajnym z prędkością graniczną o wartości
\(\displaystyle{ v_{g} = \sqrt{\frac{g}{k}} .}\)
Sprawdźmy, czy rozwiązanie równania pokrywa się z jego interpretacją fizyczną.
W tym celu znajdziemy jego całkę szczególną.
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych
\(\displaystyle{ \frac{dv}{g - kv^2} = dt \ \ (3)}\)
Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (3) }\) obustronnie
\(\displaystyle{ \int \frac{dv}{g - kv^2} = \int dt \ \ (4)}\)
Całkę występującą po lewej stronie równania znajdziemy metodą rozkładu funkcji podcałkowej na sumę dwóch ułamków prostych.
\(\displaystyle{ \frac{1}{g - kv^2} = \frac{1}{(\sqrt{g})^{2} - (\sqrt{k}v)^{2}} = \frac{A}{\sqrt{g} + \sqrt{k} v}+ \frac{B}{\sqrt{g} -\sqrt{k}v} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ A(\sqrt{g} + \sqrt{k}v) + B(\sqrt{g} - \sqrt{k}v) = 1 }\)
\(\displaystyle{ (A -B)\sqrt{k}v + (A + B)\sqrt{g} = 1 }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A - B = 0 \\ A +B = 1 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A = \frac{1}{2} \\ B =\frac{1}{2} \end{cases} }\)
Z \(\displaystyle{ (4) }\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dv}{g - kv^2} = \frac{1}{2} \int\frac{dv}{\sqrt{g} + \sqrt{k} v} + \frac{1}{2} \int\frac{dv}{\sqrt{g} - \sqrt{k}v} = t + \ln(C) }\)
Stosujemy podstawienia
\(\displaystyle{ \sqrt{g} + \sqrt{k}v = y, \ \ \sqrt{k}dv = dy, \ \ dv = \frac{dy}{\sqrt{k}} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{g} - \sqrt{k}v = u, \ \ -\sqrt{k}dv = du, \ \ dv = -\frac{du}{\sqrt{k}} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{k}} \int\frac{dy}{y} - \frac{1}{2\sqrt{k}} \int\frac{du}{u} = t + \ln(C) }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{k}} \left(\ln(y) - \ln(u) \right) = t + \ln(C) }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{k}} \ln\left(\frac{y}{u}\right) = t + \ln(C) }\)
\(\displaystyle{ \ln\left(\frac{\sqrt{g} +\sqrt{k}v}{\sqrt{g}- \sqrt{k}v} \right)^{\frac{1}{\sqrt{k}}} = t + \ln(C) }\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{g} + \sqrt{k}v}{ \sqrt{g} -\sqrt{k}v} \right)^{\frac{1}{\sqrt{k}}} = Ce^{t} }\)
Z warunku początkowego \(\displaystyle{ v(0) = 0 }\) stała \(\displaystyle{ C = 1.}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{g} + \sqrt{k}v}{ \sqrt{g} -\sqrt{k}v} \right)^{\frac{1}{\sqrt{k}}} = e^{t} \ \ (5) }\)
Z równania \(\displaystyle{ (5) }\) wyznaczamy prędkość punktu materialnego \(\displaystyle{ v }\)
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{g} + \sqrt{k}v}{ \sqrt{g} -\sqrt{k}v} \right) = e^{2t\sqrt{k}} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{g} +\sqrt{k}v = \sqrt{g} e^{2t\sqrt{k}} -\sqrt{k} e^{2t\sqrt{k}} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{k}\left(e^{2t\sqrt{k}} +1 \right) v = \sqrt{g} \left( e^{2t\sqrt{k}} -1 \right)}\)
\(\displaystyle{ v(t) =\frac{e^{2t\sqrt{k}} -1}{e^{2t\sqrt{k}}+1} \sqrt{\frac{g}{k}} }\)
Z równania tego wynika, że prędkość graniczna \(\displaystyle{ v_{gr} = \lim_{t\to \infty} v(t) = \sqrt{\frac{g}{k}} }\)
b)
\(\displaystyle{ m\frac{dv}{dt} = mg - kmv \ \ (*) }\)
Przy warunkach początkowych:
\(\displaystyle{ z(0) = h, \ \ v(0) = 0 }\)
Mnożymy obustronnie równanie \(\displaystyle{ (*) }\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{m} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt} = g - k\cdot v \ \ ( 6) }\)
\(\displaystyle{ \frac{ dv}{dt} + 2\gamma v = g \ \ (7) }\)
\(\displaystyle{ \gamma = \frac{k}{2} }\)
Przeanalizujmy równanie \(\displaystyle{ (*) }\)
W chwili \(\displaystyle{ t = 0 }\) działa tylko siła ciężkości (\(\displaystyle{ v(0) = 0). }\)
Dla \(\displaystyle{ t>0 }\) zaczyna działać siła oporu ośrodka , która jest przeciwnie skierowana do siły ciężkości \(\displaystyle{ (v< 0). }\)
Z upływem czasu jej wartość wzrasta. Występuje taki moment, w którym siła tarcia oporu ośrodka zrównoważy siłę ciężkości
\(\displaystyle{ mg - kmv = 0, }\)
tzn. przyśpieszenie punktu materialnego będzie równe zeru i punkt będzie poruszał się ruchem jednostajnym z prędkością graniczną o wartości
\(\displaystyle{ v_{g} = \frac{g}{k} = \frac{g}{2\gamma}.}\)
Sprawdźmy, czy rozwiązanie równania pokrywa się z jego interpretacją fizyczną.
Po prawej stronie równania \(\displaystyle{ (7) }\) występuje stała wielkość \(\displaystyle{ g. }\)
Podstawiając
\(\displaystyle{ v(t) = \xi(t) + \alpha, \ \ \alpha = const. }\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{d\xi}{dt} + 2\gamma \xi + 2\gamma \alpha = g }\)
Podstawiając za \(\displaystyle{ \alpha = \frac{g}{2\gamma},}\) otrzymujemy względem zmiennej \(\displaystyle{ \xi(t) }\) równanie
\(\displaystyle{ \frac{d\xi}{dt} +2\gamma \xi = 0 \ \ (8) }\) (równanie liniowe jednorodne)
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ (8) }\) metodą rozdzielenie zmiennych
\(\displaystyle{ \frac{d\xi}{\xi} = -2\gamma dt }\)
\(\displaystyle{ \int \frac{d\xi}{\xi} = - 2\int \gamma dt }\)
\(\displaystyle{ \ln(\xi) = -2\gamma t + A }\)
\(\displaystyle{ \xi(t) = Ce^{-2\gamma t}, \ \ C = e^{A} = const.}\)
\(\displaystyle{ v(t) = \frac{g}{2\gamma} + Ce^{-2\gamma t} }\)
Stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczamy z warunku początkowego \(\displaystyle{ v(0) = 0 }\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ C = \frac{g}{2\gamma}.}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ v(t) = \frac{g}{2\gamma} + \frac{g}{2\gamma} e^{-2\gamma t} }\)
\(\displaystyle{ v(t) = \frac{g}{2\gamma}\left( e^{-2\gamma t} +1 \right) \ \ (9)}\)
Z równania \(\displaystyle{ (9) }\) wynika, że prędkość graniczna jest osiągana asymptotycznie przy \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty }\)
\(\displaystyle{ v_{g} = \lim_{t\to \infty} v(t) = \frac{g}{2\gamma} = \frac{g}{k}.}\)