Układ z liną i dwoma ciałami

Ruch prostoliniowy, po okręgu, krzywoliniowy. rzuty. Praca, energia i moc. Zasady zachowania.
technik2020
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 sty 2020, o 09:44
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Układ z liną i dwoma ciałami

Post autor: technik2020 »

Treść: Przez nieważki krążek przerzucono linę. Z jednej strony zaczepiono ciało o masie \(\displaystyle{ m_{2} }\) przemieszczające się na kierunku osi X pod wpływem ciężkości. Z drugiej strony owinięto linę na krążku o masie \(\displaystyle{ m_{3} }\) i promieniu r. Wyznaczyć przyspieszenie środka krążka \(\displaystyle{ O_{3} }\).
Rysunek do zadania:

Proszę o pomoc rozwiązania zadania. Z moich obliczeń wychodzi: \(\displaystyle{ a=g(1- \frac{2m_{2} }{ m_{3} })}\)
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Układ z liną i dwoma ciałami

Post autor: kruszewski »

vide
Metodyka rozwiązywania zadań z mechaniki, Nizioł J.

Powzoruj się na:
Przykład 17.7 w wydaniu drugim. ( to 7-me zadanie w rozdziale 17, Ruch płaski ciała sztywnego)
przyjmując zerową masę krążka przez który przerzucono nić będzie to Twoje zadanie.
Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2428
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 608 razy

Re: Układ z liną i dwoma ciałami

Post autor: siwymech »

Kod: Zaznacz cały

https://images89.fotosik.pl/307/739254697e77f322med.jpg

Konieczna znajomość zależności kinematycznych ( równania więzów) między przyśpieszeniami liniowymi,a kątowymi.
\(\displaystyle{ a=\ddot x= \frac{d ^{2}x }{dt ^{2} } }\)- przyśp.liniowe
\(\displaystyle{ \varepsilon=\ddot \phi= \frac{d ^{2}\phi }{dt ^{2} } }\)- przyśp. kątowe
......................................................................
\(\displaystyle{ a=\varepsilon \cdot R}\) Lub w zapisie różniczkowym \(\displaystyle{ \ddot x=\ddot\phi \cdot R}\)
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Propozycja rozw.. Poprzez wyobrażalne przecięcie liny i ujawnienie reakcji , rozbijamy układ złożony na trzy proste i rozpatrujemy ruch każdego z osobna.Wypisujemy dynamiczne równania ruchu, zależności kinematyczne, z których znajdujemy szukane wielkości

1.Dynamiczne równanie ruchu dla obciążnika o masie \(\displaystyle{ m _{2} }\),który wykonuje ruch postępowy
\(\displaystyle{ m _{g} \cdot g-S _{2}=m _{2} \cdot a _{2} }\), (1)
2. Równania ruchu dla bezmasowego krążka- wykonuje ruch obrotowy wokół osi \(\displaystyle{ O _{2} }\)
\(\displaystyle{ \left( S _{3} -S _{2} \right) \cdot r=J _{O2} \cdot \varepsilon _{2} }\),
Gdzie \(\displaystyle{ J _{O2} =0}\)
3.Równania ruchu dla krążka ruchomego( wykonuje jednocześnie ruch obrotowy i postępowy)
\(\displaystyle{ m _{3} \cdot g-S _{3}=m _{3} \cdot a _{3} }\), (2)
\(\displaystyle{ S _{3} \cdot R=J _{O3} \cdot \varepsilon _{3} }\), (3)
4. Równania kinematycznych więzów
\(\displaystyle{ a _{2} =\varepsilon _{2} \cdot r}\), (4)
\(\displaystyle{ a _{3 }=\varepsilon _{3} \cdot R}\), (5)
\(\displaystyle{ a _{3 }=\varepsilon _{2} \cdot r-\varepsilon _{3} \cdot R}\), (6)
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Układ z liną i dwoma ciałami

Post autor: kruszewski »

Czy \(\displaystyle{ a_3}\) w (5) jest tym samym \(\displaystyle{ a_3}\) co w (6) ?
Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2428
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 608 razy

Re: Układ z liną i dwoma ciałami

Post autor: siwymech »

Tak. :-)
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Układ z liną i dwoma ciałami

Post autor: kruszewski »

Wynika stąd, że \(\displaystyle{ a_2 = 2a_3}\) , czy tak jest zawsze?

Dodano po 5 godzinach 27 minutach 41 sekundach:
W liście do mnie zauważa Pan, że lepiej byłoby napisać a_3 = \frac{1}{2} a_2 . Może , choć zauważenie że przyspieszenie ruchu punktu na nici jest dwukrotnie większe niż przyspieszenie osi krążka w pionowym jego ruchu jest sugestywniejsze, ale to względność wrażeń.

Ja napisałbym takie równania więzów:
v_B = - v_{m_2} .......(*), gdzie punkt \(\displaystyle{ B}\) jest punktem o własności chwilowego środka obrotu krążka.
lub
a_{B} = - a_{m_2} ....... (**)
co jest konsekwencją nierozciągliwości nici.
oraz:
\(\displaystyle{ a_O{ _{3_B}} = + R \cdot \varepsilon_3 }\) .... (***)
co jest konsekwencją niezmienności odległości punktu \(\displaystyle{ O_3}\), środka masy krążka od chwilwego środka obrotu - punktu \(\displaystyle{ B}\) przynależnego do nici i jest przyspieszeniem względnym środka\(\displaystyle{ O_3}\) krążka \(\displaystyle{ III}\) wględem nici.
Przyspieszenie wypadkowe środka O_3 jest sumą obu tych przyspieszeń:
\(\displaystyle{ a_3 = a_O{ _{3_B}} - a_{m_2 }}\) ....... (****)

Z szacunkiem i życzeniami pomyślnego roku
W.Kr.
ODPOWIEDZ