Mam problem z zadaniem:
Jednorodny walec o masie \(\displaystyle{ m}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\) obraca się bez tarcia dookoła poziomej osi pod wpływem ciężarka o masie \(\displaystyle{ M}\) przywiazanego do nici nawiniętej na walec. Znaleźć kat obrotu \(\displaystyle{ \alpha}\) w zależności od czasu \(\displaystyle{ t}\).
Próbowałem używać wszystkich wzorów jakie znam, jednak w żaden sposób nie potrafię otrzymać końcowej odpowiedzi:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{gt^2}{2R(1 + \frac{m}{2M}) } }\)
Kąt obrotu walca w zależności od czasu
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Kąt obrotu walca w zależności od czasu
Z równowagi momentów mamy
\(\displaystyle{ I\ddot{ \alpha }+MR^2\ddot{ \alpha }=MgR}\)
\(\displaystyle{ \ddot{ \alpha }(I+MR^2)=MgR}\)
\(\displaystyle{ \ddot{ \alpha }= \frac{MgR}{I+MR^2} }\)
\(\displaystyle{ \ddot{ \alpha }= \frac{g}{ R(1+\frac{I}{MR^2})} }\)
całkując dwukrotnie po czasie z założeniem zerowych warunków początkowych mamy
\(\displaystyle{ \alpha =\frac{gt^2}{ 2R(1+\frac{I}{MR^2})}}\)
Kładąc \(\displaystyle{ I= \frac{mR^2}{2} }\) dostajemy wzór z treści.
\(\displaystyle{ I\ddot{ \alpha }+MR^2\ddot{ \alpha }=MgR}\)
\(\displaystyle{ \ddot{ \alpha }(I+MR^2)=MgR}\)
\(\displaystyle{ \ddot{ \alpha }= \frac{MgR}{I+MR^2} }\)
\(\displaystyle{ \ddot{ \alpha }= \frac{g}{ R(1+\frac{I}{MR^2})} }\)
całkując dwukrotnie po czasie z założeniem zerowych warunków początkowych mamy
\(\displaystyle{ \alpha =\frac{gt^2}{ 2R(1+\frac{I}{MR^2})}}\)
Kładąc \(\displaystyle{ I= \frac{mR^2}{2} }\) dostajemy wzór z treści.
- siwymech
- Użytkownik
- Posty: 2428
- Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 608 razy
Re: Kąt obrotu walca w zależności od czasu
Kołowrót i dwie nicie w przeciwnych kierunkach
Uwaga na rysunku drugim! wprowadzić oznaczenia zgodne z treścią zadania.
1.Do określenia kąta obrotu) drogi katowej \(\displaystyle{ \alpha(t) }\) wykorzystamy równanie ruchu bryły- drogi w ruchu obrotowym jednostajnie przyśpieszonym
\(\displaystyle{ \alpha = \varepsilon \cdot \frac{t ^{2} }{2} }\),(1)
/ Prędkośc kątowa początkowa \(\displaystyle{ \omega _{o}=0 }\)- ciała w spoczynku./
2.Pozostaje do wyznaczenia przyśpieszenie kątowe \(\displaystyle{ \varepsilon}\)
Wykorzystamy równania dynamiczne ruchu obciażnika i krążka
\(\displaystyle{ \displaystyle{ Mg-S=M \cdot a}}\), (2)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ S \cdot R=J _{o} \cdot \varepsilon}}\), (3)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ a=\varepsilon \cdot R}}\), (4)
2.1.Z równań (2,3 ,4) wyznaczamy przyśpieszenie liniowe
\(\displaystyle{ a=\frac{MgR ^{2} }{J _{o} +MR ^{2} } }\), (4)
3. Przyśpieszenie kątowe
\(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{a}{R} = \frac{MgR ^{2} }{(J _{o} +MR ^{2} )R} }\), (5)
Wyrażenie (5)przekształcamy do najprostszej postaci, pamiętając, że moment bezwładności krążka jest równy \(\displaystyle{ J _{o}= \frac{mr ^{2} }{2} }\)
\(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{a}{R} = \frac{MgR ^{2} }{(J _{o} +MR ^{2} )R}= \frac{MgR}{M\left( \frac{J _{o} }{M}+R ^{2} \right) }= \frac{MgR}{ \frac{mR ^{2} }{2} +MR ^{2} } = \frac{2MgR}{MR ^{2}( \frac{m}{M} +2) }= \frac{2g}{2R( \frac{m}{2M+1)} }= \frac{g}{R( \frac{m}{2M}+1) } }\), (6)
4.Ostatecznie droga kątowa \(\displaystyle{ \alpha }\) jest równa
\(\displaystyle{ \alpha = \varepsilon \cdot \frac{t ^{2} }{2}=\frac{g}{R( \frac{m}{2M}+1) } \cdot \frac{t ^{2} }{2} }\)
...........................................................................
Przyśpieszenie kątowe można wyznaczyć inną metodą stosując zasadę równoważnosci energii kinetycznej i pracy:
\(\displaystyle{ Ek=W}\)
\(\displaystyle{ Jo \cdot \frac{\omega ^{2} }{2}+ \frac{Mv ^{2} }{2}=Mg \cdot s }\)
Gdzie
\(\displaystyle{ s=\phi \cdot R, v=\omega\cdot R}\)
Przykład tu: Problem z zadaniem dynamika
Uwaga na rysunku drugim! wprowadzić oznaczenia zgodne z treścią zadania.
1.Do określenia kąta obrotu) drogi katowej \(\displaystyle{ \alpha(t) }\) wykorzystamy równanie ruchu bryły- drogi w ruchu obrotowym jednostajnie przyśpieszonym
\(\displaystyle{ \alpha = \varepsilon \cdot \frac{t ^{2} }{2} }\),(1)
/ Prędkośc kątowa początkowa \(\displaystyle{ \omega _{o}=0 }\)- ciała w spoczynku./
2.Pozostaje do wyznaczenia przyśpieszenie kątowe \(\displaystyle{ \varepsilon}\)
Wykorzystamy równania dynamiczne ruchu obciażnika i krążka
\(\displaystyle{ \displaystyle{ Mg-S=M \cdot a}}\), (2)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ S \cdot R=J _{o} \cdot \varepsilon}}\), (3)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ a=\varepsilon \cdot R}}\), (4)
2.1.Z równań (2,3 ,4) wyznaczamy przyśpieszenie liniowe
\(\displaystyle{ a=\frac{MgR ^{2} }{J _{o} +MR ^{2} } }\), (4)
3. Przyśpieszenie kątowe
\(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{a}{R} = \frac{MgR ^{2} }{(J _{o} +MR ^{2} )R} }\), (5)
Wyrażenie (5)przekształcamy do najprostszej postaci, pamiętając, że moment bezwładności krążka jest równy \(\displaystyle{ J _{o}= \frac{mr ^{2} }{2} }\)
\(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{a}{R} = \frac{MgR ^{2} }{(J _{o} +MR ^{2} )R}= \frac{MgR}{M\left( \frac{J _{o} }{M}+R ^{2} \right) }= \frac{MgR}{ \frac{mR ^{2} }{2} +MR ^{2} } = \frac{2MgR}{MR ^{2}( \frac{m}{M} +2) }= \frac{2g}{2R( \frac{m}{2M+1)} }= \frac{g}{R( \frac{m}{2M}+1) } }\), (6)
4.Ostatecznie droga kątowa \(\displaystyle{ \alpha }\) jest równa
\(\displaystyle{ \alpha = \varepsilon \cdot \frac{t ^{2} }{2}=\frac{g}{R( \frac{m}{2M}+1) } \cdot \frac{t ^{2} }{2} }\)
...........................................................................
Przyśpieszenie kątowe można wyznaczyć inną metodą stosując zasadę równoważnosci energii kinetycznej i pracy:
\(\displaystyle{ Ek=W}\)
\(\displaystyle{ Jo \cdot \frac{\omega ^{2} }{2}+ \frac{Mv ^{2} }{2}=Mg \cdot s }\)
Gdzie
\(\displaystyle{ s=\phi \cdot R, v=\omega\cdot R}\)
Przykład tu: Problem z zadaniem dynamika