Problem z zadaniem dynamika

[smokh]

Dzień dobry, mam problem z takim zadaniem. Układ składający się z czterech kół i dwóch ciał jak na rysunku. Przez koło o masie \(\displaystyle{ m\ [kg]}\) i promieniu \(\displaystyle{ r\ [m]}\), zamocowane przegubowo w punkcie \(\displaystyle{ A}\), przerzucono linę na której końcu zawieszono ciało o masie \(\displaystyle{ 2m}\). Drugi koniec tej liny zaczepiono w środku \(\displaystyle{ B}\) dwóch współśrodkowo zamocowanych kół o masach \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ 3m}\) oraz promieniach \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ 3r}\). Koła te toczą się bez poślizgu po poziomym torze, gdzie współczynnik tarcia tocznego wynosi \(\displaystyle{ f}\). Na obwodzie dużego koła nawinięto drugą linę, którą przerzucono przez krążek o masie \(\displaystyle{ m}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\), zamocowany przegubowo w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Wyznaczyć przyspieszenia kątowe i liniowe poszczególnych elementów oraz momenty \(\displaystyle{ M_{zred.A}}\) i momenty bezwładności \(\displaystyle{ I_{zred.A}}\). W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku. Odpowiedzi:
\(\displaystyle{ I_{zred.A}=43.5mr2, M_{zred.A}=2mgr[1−2( \frac{f}{r} +\sin\alpha+ u\cos\alpha)].}\)
Dodatkowo wrzucam rysunek poglądowy:
Proszę o jakąś wskazówkę jak ruszyć to zadanie.

[kruszewski]

Proponuję metodę kinetostatyki jak sosób roziązania pamiętając, że w metodzie tej uwzględniana jest zasada d'Alemberta.
Arbitralnie przyjąć układ osi współrzędnych z pinową osią mającą zwrot dodatni w dół i ruch pod wpływem siły ciężkości masy zawieszonej na nici a zwroty wektorów jej ruchu skierowane w dół przyjąć za dodatnie.
Proszę zwrócić też uwagę na stosunek przyspieszeń punktów nici lewej masy do do przyspieszeń punktów nici podtrzymującej masę na równi .

[siwymech]

Moją receptą na rozw. problemu jest zastosowanie zasady równoważności energii kinetycznej(\(\displaystyle{ E _{k)} }\)) i pracy(\(\displaystyle{ W}\)).
\(\displaystyle{ E _{k2} -E _{k1}= W}\)
Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na przesunięciu(s) jest równy sumie prac sił czynnych i biernych(reakcji) na tym przesunięciu.
......................................................
1.Pierwszy krok- zakladamy, że w chwili początkowej prędkości liniowe, kątowe kół sa równe zeru, stąd energia kinetyczna \(\displaystyle{ E _{k1}=0}\)
2.Drugi- układamy równania energii i pracy zakładając prędkości końcowe.
/ Konieczna znajomość okreśłania energi, pracy w ruchu postępowym i obrotowym bryły sztywnej/

[smokh]

Moją receptą na rozw. problemu jest zastosowanie zasady równoważności energii kinetycznej(\(\displaystyle{ E _{k)} }\)) i pracy(\(\displaystyle{ W}\)).
\(\displaystyle{ E _{k2} -E _{k1}= W}\)
Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na przesunięciu(s) jest równy sumie prac sił czynnych i biernych(reakcji) na tym przesunięciu.
......................................................
1.Pierwszy krok- zakladamy, że w chwili początkowej prędkości liniowe, kątowe kół sa równe zeru, stąd energia kinetyczna \(\displaystyle{ E _{k1}=0}\)
2.Drugi- układamy równania energii i pracy zakładając prędkości końcowe.
/ Konieczna znajomość okreśłania energi, pracy w ruchu postępowym i obrotowym bryły sztywnej/

A jak ma to się do przyspieszenia? Też przyjąć, że przyspieszenie kątowe i liniowe jest równe zeru? Właśnie mam problem z tym, że do energii kinetycznej i do momentów bezwładności trzeba mi prędkości i nie wiem jak to ma się do tego podanego przyspiesznia.

[siwymech]

Z wykladów musi Pan wiedzieć, że obok równań energii kinetycznej, pracy wykorzystujemy zależności kinematyczne między prędkościami liniowymi \(\displaystyle{ v}\), a kątowymi \(\displaystyle{ \omega}\) oraz drogami przebytymi \(\displaystyle{ s,}\) a kątami obrotu \(\displaystyle{ \phi}\). Ponadto przydatne tw. Königa.
1.\(\displaystyle{ v=\omega \cdot r}\), (1)
2.\(\displaystyle{ s=\phi \cdot r}\), (2)
3.\(\displaystyle{ a=\varepsilon \cdot r}\), (3)
4.\(\displaystyle{ M _{zrA} =J _{zrA} \cdot \varepsilon =J _{zrA} \cdot \frac{d\omega _{1} }{dt} }\), (4)
.................................................
Np. dla obciążnika energia kinetyczna \(\displaystyle{ E _{k} }\) o masie 2m
\(\displaystyle{ E _{k}= \frac{m \cdot v ^{2} _{1} }{2}= \frac{1}{2} \cdot 2m \cdot \omega ^{2} _{1} \cdot r ^{2} }\)
Praca obciążnika(siła ciężkości)
\(\displaystyle{ W _{1}=2mg \cdot s _{1} =2mg \cdot \phi _{1} \cdot r}\)
/Ciała wykonują ruch płaski ! Założono prędkość, drogę końcową- \(\displaystyle{ v _{1} ,s _{1} }\)/

Dodano po 1 dniu 8 godzinach 39 minutach 8 sekundach:

Kod: Zaznacz cały

https://images89.fotosik.pl/298/ccd833e4c5172370.jpg

Pozwalam sobie przedstawić rozw. problemu majac na uwadze metodę rozwiązania.
..........................................................................................
1. Energia kinetyczna układu ciał(w ruchu postępowym i obrotowym), które osiagają zakładaną prędkość końcową.
\(\displaystyle{ Ek _{2}= \frac{1}{2} 2m \cdot v ^{2} _{1} + \frac{1}{2} J _{1} \cdot \omega ^{2} _{1} + \frac{1}{2}( J '_{2} +J ''_{2} )\cdot \omega ^{2} _{2} +\frac{1}{2}(m+3m) \cdot v ^{2} _{2}+ \frac{1}{2} J _{3} \cdot \omega ^{2} _{3} +\frac{1}{2} m \cdot v ^{2} _{3}}\)
Z treści zadania wynika: (\(\displaystyle{ Ek _{1}=0 }\))
1.1. Momenty bezwładności poszczególnych krążków wzgl. osi ich obrotu:
\(\displaystyle{ J _{1} =J _{3}= \frac{1}{2} m \cdot r^{2} , J' _{2} =\frac{1}{2} m \cdot r^{2}, J ^{"} _{2} =\frac{1}{2} 3m \cdot(3 r)^{2}, J _{2} ^{'}+J _{2} ^{"}=7m \cdot r ^{2} }\)
1.2. Związki kinemtyczne- zalężności między prędkościami liniowymi, a kątowymi:
\(\displaystyle{ v _{1} = \omega _{1} \cdot r, v _{1} =v _{2} \Rightarrow \omega _{1} \cdot r=\omega _{2} \cdot r \Rightarrow \omega _{1} =\omega _{2}}\),
\(\displaystyle{ \omega _{2} \cdot 4r=\omega _{3} \cdot r \Rightarrow \omega _{3} =4\omega _{1} }\),
\(\displaystyle{ v _{3}=\omega _{3} \cdot r }\)
1.3 Po wstawieniu zależności i ich przeliczeniu na prędkość katową \(\displaystyle{ \omega _{1} }\) koła pierwszego( biegun redukcji w p.A) otrzymamy
\(\displaystyle{ Ek _{2}=\omega ^{2} _{1} \cdot r ^{2} \cdot 22,25 m }\), (1)
2.Praca \(\displaystyle{ W}\) ruchu obrotowego i postepowego na przyjętych drogach- prace wykonują siły cięzkosci i moment związany z tarciem tocznym(od siły N). / Praca układu \(\displaystyle{ W _{1} =0/}\)
\(\displaystyle{ W _{2} =2mg \cdot s _{1}-N _{2} \cdot f \cdot \phi _{2} -mg \cdot \sin \alpha \cdot s _{3} -mg \cdot \cos \alpha \cdot s _{3} }\)
\(\displaystyle{ W _{2} = 2mg \cdot \phi _{1} \cdot r- 4mg \cdot f \cdot \phi _{2} - mg \cdot \sin \alpha \cdot 4\phi _{3} \cdot r- \mu \cdot mg \cdot \cos \alpha \cdot 4\phi _{3} \cdot r }\)
2.1. Zależności między drogami liniowym , a kątowymi:
\(\displaystyle{ s _{1}=\phi _{1} \cdot r , \phi _{1} \cdot r=\phi _{2} \cdot r, s _{3}=\phi _{3} \cdot r, \phi _{2} \cdot 4r=\phi _{3} \cdot r }\)
2.2 Po wstawieniu zależności( przeliczamy drogi kątowe na drogę punktu redukcji tj. p.A) otrzymamy
\(\displaystyle{ W _{2}=\phi _{1} \left\{ 2mg \cdot r [1-2( \frac{f}{r}+\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha ) \right\} }\), (2)
.................................................................................................
3. Korzystając z zasady równoważności energi kinetycznej i pracy mamy równanie
\(\displaystyle{ \omega ^{2} _{1} \cdot r ^{2} \cdot 22,25 m=\phi _{1} \left\{ 2mg \cdot r [1-2( \frac{f}{r}+\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha ) \right\} }\)
Różniczkujemy obie strony względem czasu;
\(\displaystyle{ 2\omega _{1} \frac{d\omega _{1} }{dt} \cdot 22,25m \cdot r ^{2} = \frac{d\phi _{1} }{dt} \left( 2mg \cdot r [1-2( \frac{f}{r}+\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha )\right) }\), (3)
4. Obliczamy przyśpieszenie kątowe koła o masie \(\displaystyle{ m_{1} }\)- w osi koła biegun redukcji p.A
\(\displaystyle{ \varepsilon _{1} = \frac{M _{zrA} }{J _{zrA} }= \frac{ 2mg \cdot r [1-2( \frac{f}{r}+\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha) }{44,5 m \cdot r ^{2} } }\), (4)
5.Moment układu zredukowany do osi koła(1) p.A:
\(\displaystyle{ M _{zrA} =2mg \cdot r [1-2( \frac{f}{r}+\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha) [ N \cdot m]}\), (5)
6.Moment bezwładności układu ciał zredukowany do osi koła w p.A
\(\displaystyle{ J _{zrA}= 44,5 m \cdot r ^{2}, [kg \cdot m ^{2}] }\), (6)
.......................................................
Pozostałe wielkości kinematyczne- przyśpieszenia liniowe, kątowe można wyznaczyć z przedstawionych zależności kinematycznych

[smokh]

Dziękuję za wszelką pomoc postaram się sam siąść nad tym zadaniem. Szczęśliwego nowego roku.

[siwymech]

...Słyszałem-zapomniałem.Widziałem- pamiętam. Zrobiłem- rozumiem...
Odwzajemniam życzenia i powodzenia w pokonywaniu trudności edukacyjnych.