Kołowrót i dwie nicie w przeciwnych kierunkach

[Velo]

Na kołowrót nawinięto w kierunkach przeciwnych dwie nici obciążone masami \(\displaystyle{ m_1}\) i \(\displaystyle{ m_2}\). Obliczyć przyspieszenie kątowe kolowrotu i napięcia nici, jeżeli moment bezwlasności wynosi \(\displaystyle{ I}\), a promienie odpowiednio \(\displaystyle{ R_1}\) i \(\displaystyle{ R_2}\).
Jak się za to zabrać?

Mam także problem z trochę innym zadaniem: Jednorodny walec o promieniu \(\displaystyle{ r=4\,cm}\) osadzono na poziomej osi przechodzącej przez oś walca. Następnie nawinięto na walec nitkę i uwiązano ciężarek o masie \(\displaystyle{ m=16\,kg}\). Ciężarek przebył drogę \(\displaystyle{ 109\,cm}\) w czasie \(\displaystyle{ 5\,s}\). Oblicz moment bezwładności i siłę napięcia nici.
Czy aby to obliczyć muszę dojść do masy walca? No tak próbowałem to zrobić, ale nie wiem z jakiego wzoru skorzystać

[siwymech]

Kod: Zaznacz cały

https://images92.fotosik.pl/296/78584383c8162c14med.jpg

Maszyna prosta- kołowrót różnicowy(wał stopniowany).
Do rozw.wykorzystamy metodę myślowego przekroju- wyobrażalny przekrój przez liny.
Ten zabieg ułatwi wypisanie dynamicznych równań ruchu dla obciążników i wału. Patrz rysunek.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Dynamiczne równania ruchu postępowego dla obciążników: \(\displaystyle{ G _{1} =m _{1} \cdot g, G _{2} =m _{2} \cdot g }\)
\(\displaystyle{ m _{1} \cdot a _{1} =S _{1}-m _{1} \cdot g }\), (1)
\(\displaystyle{ m _{2} \cdot a _{2} =m _{2} \cdot g -S _{2} }\), (2)
/\(\displaystyle{ S _{1}, S _{2}}\)- reakcje (napięcia) w linach
2. Dynamiczne równania ruchu obrotowego wału o znanym momencie bezwładnosci
\(\displaystyle{ M=J \cdot \varepsilon}\), (3)
Gdzie
\(\displaystyle{ M}\)- moment obrotowy wzgl.osi wału
\(\displaystyle{ M=S _{2} \cdot R _{2} -S _{1} \cdot R _{1} }\), (4)
3. Związek miedzy przyśpieszeniami liniowym , a kątowym
\(\displaystyle{ a _{1}=\varepsilon \cdot R _{1} }\), (5)
\(\displaystyle{ a _{2}=\varepsilon \cdot R _{2} }\), (6)
.................................................

Dodano po 2 dniach 18 godzinach 59 minutach 1 sekundzie:

Kod: Zaznacz cały

https://images91.fotosik.pl/297/66effa7bba0b2036med.jpg

Pomijamy opory ruchu!
Rozdzielamy (myślowo) ciała pisząc dla każdego z osobna równania ruchu:
1.Dynamiczne równanie ruchu postepowego dla obciążnika o masie \(\displaystyle{ m}\)
\(\displaystyle{ F=m \cdot a }\)
.....................
\(\displaystyle{ mg-S=m \cdot a}\), (1)
\(\displaystyle{ S}\)- napięcie w linie
2.Dynamiczne równanie ruchu obrotowego dla bloczka
\(\displaystyle{ M _{o} =J _{o} \cdot \varepsilon}\)
/\(\displaystyle{ M _{o}, J _{o} }\)- moment obrotowy, moment bezwładności wzgl. osi obrotu krążka p.O./
............................
\(\displaystyle{ S \cdot R=J _{o} \cdot \varepsilon}\), (2)
Ponadto wykorzystamy równania:
\(\displaystyle{ a=\varepsilon \cdot R}\), (3)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \cdot t ^{2} }{2} }\), (4)
/Równanie drogi(h) dla obciążnika w ruchu jednostajnie przyśpieszonym- \(\displaystyle{ v _{o} =0}\)/
.............................................................

[Velo]

Bardzo dziękuję za pomoc!
Mam tylko pytanie do pierwszego zadania: udało mi się obliczyć napięcia nici, które są zgodne z odpowiedziami, jednak nie potrafię dojść do wzoru na przyspieszenie kątowe, które jest podany w odpowiedziach:
\(\displaystyle{ \epsilon = \frac{(m_2R_2 - m_1R_1)g}{m_1R_1^2 + m_2R_2^2 + I}}\)

[siwymech]

Trochę żmudne rachunki
..........................
1. Z równań 1,2,5,6 wyznaczamy napięcia w linie:
\(\displaystyle{ S _{1} =m _{1} \cdot a _{1} +m _{1} g=m _{1} \cdot \varepsilon \cdot R _{1} +m _{1} g }\), (1)
\(\displaystyle{ S _{2} =m _{2} \cdot g _{1} -m _{2} \cdot a _{2} =m _{2} g-m _{2} \cdot \varepsilon \cdot R _{2} }\), (2)
2.Z równania 3i 4 określimy przyśpieszenie kątowe
\(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{M}{J} = \frac{S _{2} \cdot R _{2} -S _{1} \cdot R _{1} }{J}= \frac{(m _{2} g-m _{2} \cdot \varepsilon \cdot R _{2})R _{2} -(m _{1} \cdot \varepsilon \cdot R _{1} +m _{1} g)R _{1} }{J} }\)
Po przekształceniach mamy równość
\(\displaystyle{ \varepsilon\left( J+m _{2}R ^{2} _{2} +m _{1}R ^{2} _{2} \right)=g\left( m _{2}R _{2} -m _{1}R _{1} \right) }\)
Ostatecznie znajdujemy przyśpieszenie kątowe wału :
\(\displaystyle{ \varepsilon= \frac{g\left( m _{2}R _{2} -m _{1}R _{1} \right)}{J+m _{2}R ^{2} _{2} +m _{1}R ^{2} _{2} } }\)
.............................
Teraz trzeba wrócić do równań 1 i 2 i wyznaczyć napięcia w linach \(\displaystyle{ S _{1}, S _{2} }\)
Powodzenia.

[Velo]

Bardzo dziękuję!