Prędkość punktu materialnego
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 28 lis 2015, o 13:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 8 razy
Prędkość punktu materialnego
Witam,
poprosiłbym o rozwiązanie zadania, bo nie wiem jak je ruszyć:
Przyspieszenie punktu materialnego dane jest wzorem \(\displaystyle{ a=3x}\) \(\displaystyle{ m/s^{2} }\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) oznacza położenie punktu. Obliczyć prędkość punktu, gdy znajduje się on w położeniu \(\displaystyle{ x=3m}\), jeżeli w chwili \(\displaystyle{ t=0}\), \(\displaystyle{ V_{0}=4}\) \(\displaystyle{ m/s}\) oraz \(\displaystyle{ x_{0}=0 }\).
Z góry dziękuję.
poprosiłbym o rozwiązanie zadania, bo nie wiem jak je ruszyć:
Przyspieszenie punktu materialnego dane jest wzorem \(\displaystyle{ a=3x}\) \(\displaystyle{ m/s^{2} }\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) oznacza położenie punktu. Obliczyć prędkość punktu, gdy znajduje się on w położeniu \(\displaystyle{ x=3m}\), jeżeli w chwili \(\displaystyle{ t=0}\), \(\displaystyle{ V_{0}=4}\) \(\displaystyle{ m/s}\) oraz \(\displaystyle{ x_{0}=0 }\).
Z góry dziękuję.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
\(\displaystyle{ v(t) = v_{0} +3x\cdot t. }\)
Czas \(\displaystyle{ t }\) wyznaczamy z równania położenia punktu:
\(\displaystyle{ x(t) = v_{0}\cdot t + 3x\cdot \frac{t^2}{2}. }\)
Czas \(\displaystyle{ t }\) wyznaczamy z równania położenia punktu:
\(\displaystyle{ x(t) = v_{0}\cdot t + 3x\cdot \frac{t^2}{2}. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Analiza wymiarowa równaia
\(\displaystyle{ { x(t) = v_{0}\cdot t + 3x\cdot \frac{t^2}{2}. }}\)
\(\displaystyle{ [m] = [m/s] \cdot [s] + [m]\cdot[s^2] }\)
sugeruje jego niepoprawność
\(\displaystyle{ { x(t) = v_{0}\cdot t + 3x\cdot \frac{t^2}{2}. }}\)
\(\displaystyle{ [m] = [m/s] \cdot [s] + [m]\cdot[s^2] }\)
sugeruje jego niepoprawność
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 28 lis 2015, o 13:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 8 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Ale \(\displaystyle{ 3x}\) nie jest w \(\displaystyle{ m}\) tylko w \(\displaystyle{ m/ s^{2} }\), więc będzie się zgadzać.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 656
- Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 74 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Inna metoda na poziomie studenckim czyli chyba Twoim kamael666 to scałkować wzór na przyspieszenie podstawiając warunki brzegowe (początkowe), oczywiście po rozdzieleniu zmiennych:
\(\displaystyle{ a_{x}(t) = \frac{dv_{x}}{dt} = 3x}\)
\(\displaystyle{ dv_{x} = a_{x}dt = 3xdt}\)
\(\displaystyle{ dv_{x}(t) = \int dv_{x} = \int\limits_{0}^{1}3x(t)dt =..}\)
\(\displaystyle{ a_{x}(t) = \frac{dv_{x}}{dt} = 3x}\)
\(\displaystyle{ dv_{x} = a_{x}dt = 3xdt}\)
\(\displaystyle{ dv_{x}(t) = \int dv_{x} = \int\limits_{0}^{1}3x(t)dt =..}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
korki fizyka
\(\displaystyle{ 3x }\) jest dane w treści zadania, jako przyśpieszenie zależne od położenia. Nie ma potrzeby używania "poziomu studenckiego" i sztucznego straszenia całką.
Później używa Pan różniczki prędkości \(\displaystyle{ dv_{x}(t), }\) porównując całkę nieoznaczoną z całką oznaczoną, co jest błędem.
\(\displaystyle{ 3x }\) jest dane w treści zadania, jako przyśpieszenie zależne od położenia. Nie ma potrzeby używania "poziomu studenckiego" i sztucznego straszenia całką.
Później używa Pan różniczki prędkości \(\displaystyle{ dv_{x}(t), }\) porównując całkę nieoznaczoną z całką oznaczoną, co jest błędem.
Ostatnio zmieniony 13 lis 2019, o 08:54 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
- siwymech
- Użytkownik
- Posty: 2429
- Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 608 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Ośmielam się.
Podnosząc stopień trudności :
Jeżeli \(\displaystyle{ a _{x} = \frac{d ^{2} x}{dt ^{2} }=\dot{v _{x} }=\ddot x, (1) }\), to mamy równanie
\(\displaystyle{ \ddot x-3x=0, (2)}\)
Rozw. równanie (2) różniczkowe drugiego rzędu o stałych zmiennych.
Znajdziemy równanie ruchu wzdłuż osi x i licząc pochodną po czasie znajdziemy prędkość( \(\displaystyle{ v _{x}= \dot x)}\).
/Punkt porusza się wzdłuż osi x.Początek ruchu, to początek przyjętej osi odciętych.Warunki początkowe podano./
...........................
Podnosząc stopień trudności :
Jeżeli \(\displaystyle{ a _{x} = \frac{d ^{2} x}{dt ^{2} }=\dot{v _{x} }=\ddot x, (1) }\), to mamy równanie
\(\displaystyle{ \ddot x-3x=0, (2)}\)
Rozw. równanie (2) różniczkowe drugiego rzędu o stałych zmiennych.
Znajdziemy równanie ruchu wzdłuż osi x i licząc pochodną po czasie znajdziemy prędkość( \(\displaystyle{ v _{x}= \dot x)}\).
/Punkt porusza się wzdłuż osi x.Początek ruchu, to początek przyjętej osi odciętych.Warunki początkowe podano./
...........................
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Co to są stałe zmienne ?
Jak stałe to nie zmienne, a jak zmienne to nie stałe.
Chyba chodziło Panu o równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu - jednorodne o stałych współczynnikach?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{''}(t) - 3x = 0 \\ x(0) = 0 \\ x'(0) = 4 \end{cases} }\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ r^2 - 3r = r( r -3)= 0 }\)
\(\displaystyle{ r_{1} = 0, \ \ r_{2} = 3.}\)
Rozwiązanie ogólne równania
\(\displaystyle{ x_{0}(t) = C_{1}e ^{0\cdot t} + C_{2}e^{3\cdot t} = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot t}. }\)
Uwzględniamy warunki początkowe w celu wyznaczenia stałych \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}.}\)
\(\displaystyle{ x_{0}(0) = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot 0} = C_{1} + C_{2} = 0 \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ x'_{0}(t) = 3C_{2}e^{3\cdot t} }\)
\(\displaystyle{ x'_{0}(0) = v_{0} = 3C_{2}e^{3\cdot 0} = 3C_{2} = 4 }\)
\(\displaystyle{ C_{2} = \frac{4}{3}. }\)
Z równania \(\displaystyle{ (1), \ \ C_{1} = -\frac{4}{3} }\)
Rozwiązanie szczególne równania
\(\displaystyle{ x(t) = -\frac{4}{3} + \frac{4}{3}e^{3t} = \frac{4}{3}( e^{3t} - 1). }\)
Stąd równanie prędkości punktu materialnego
\(\displaystyle{ x'(t) = v(t) = 4 e^{3t} \ \ (2) }\)
Z warunków wynikających z treści zadania
\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} -1) \cdot 3 }\)
\(\displaystyle{ 9 = 4(e^{3t} - 1) }\)
\(\displaystyle{ \frac{9}{4} = e^{3t} -1 }\)
\(\displaystyle{ e^{3t} = \frac{13}{4} }\)
\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3}\ln\left( \frac{13}{4} \right).}\)
Z równania \(\displaystyle{ (2) }\)
\(\displaystyle{ v^{*} = \frac{4}{3} e^{3\cdot\frac{1}{3}\ln\left(\frac{13}{4} \right)} = \frac{4}{3}\cdot e^{\ln\left(\frac{13}{4} \right)}= \frac{4}{3}\cdot \frac{13}{4} = \frac{13}{3} \frac{m}{s} = 4\frac{1}{3} \frac{m}{s}.}\)
Jak stałe to nie zmienne, a jak zmienne to nie stałe.
Chyba chodziło Panu o równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu - jednorodne o stałych współczynnikach?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{''}(t) - 3x = 0 \\ x(0) = 0 \\ x'(0) = 4 \end{cases} }\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ r^2 - 3r = r( r -3)= 0 }\)
\(\displaystyle{ r_{1} = 0, \ \ r_{2} = 3.}\)
Rozwiązanie ogólne równania
\(\displaystyle{ x_{0}(t) = C_{1}e ^{0\cdot t} + C_{2}e^{3\cdot t} = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot t}. }\)
Uwzględniamy warunki początkowe w celu wyznaczenia stałych \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}.}\)
\(\displaystyle{ x_{0}(0) = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot 0} = C_{1} + C_{2} = 0 \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ x'_{0}(t) = 3C_{2}e^{3\cdot t} }\)
\(\displaystyle{ x'_{0}(0) = v_{0} = 3C_{2}e^{3\cdot 0} = 3C_{2} = 4 }\)
\(\displaystyle{ C_{2} = \frac{4}{3}. }\)
Z równania \(\displaystyle{ (1), \ \ C_{1} = -\frac{4}{3} }\)
Rozwiązanie szczególne równania
\(\displaystyle{ x(t) = -\frac{4}{3} + \frac{4}{3}e^{3t} = \frac{4}{3}( e^{3t} - 1). }\)
Stąd równanie prędkości punktu materialnego
\(\displaystyle{ x'(t) = v(t) = 4 e^{3t} \ \ (2) }\)
Z warunków wynikających z treści zadania
\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} -1) \cdot 3 }\)
\(\displaystyle{ 9 = 4(e^{3t} - 1) }\)
\(\displaystyle{ \frac{9}{4} = e^{3t} -1 }\)
\(\displaystyle{ e^{3t} = \frac{13}{4} }\)
\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3}\ln\left( \frac{13}{4} \right).}\)
Z równania \(\displaystyle{ (2) }\)
\(\displaystyle{ v^{*} = \frac{4}{3} e^{3\cdot\frac{1}{3}\ln\left(\frac{13}{4} \right)} = \frac{4}{3}\cdot e^{\ln\left(\frac{13}{4} \right)}= \frac{4}{3}\cdot \frac{13}{4} = \frac{13}{3} \frac{m}{s} = 4\frac{1}{3} \frac{m}{s}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 656
- Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 74 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Nie uważam żeby "straszenie całką" było sztuczne tylko wręcz niezbędne do rozpatrywania wszelkich ruchów zmiennych a tutaj właśnie z takim mamy do czynienia.janusz47 pisze: ↑13 lis 2019, o 08:24 korki fizyka
\(\displaystyle{ 3x }\) jest dane w treści zadania, jako przyśpieszenie zależne od położenia. Nie ma potrzeby używania "poziomu studenckiego" i sztucznego straszenia całką.
Później używa Pan różniczki prędkości \(\displaystyle{ dv_{x}(t), }\) porównując całkę nieoznaczoną z całką oznaczoną, co jest błędem.
Teraz to dopiero strach się bać.janusz47 pisze: ↑13 lis 2019, o 11:13 Co to są stałe zmienne ?
Jak stałe to nie zmienne, a jak zmienne to nie stałe.
Chyba chodziło Panu o równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu - jednorodne o stałych współczynnikach?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{''}(t) - 3x = 0 \\ x(0) = 0 \\ x'(0) = 4 \end{cases} }\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ r^2 - 3r = r( r -3)= 0 }\)
\(\displaystyle{ r_{1} = 0, \ \ r_{2} = 3.}\)
Rozwiązanie ogólne równania
\(\displaystyle{ x_{0}(t) = C_{1}e ^{0\cdot t} + C_{2}e^{3\cdot t} = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot t}. }\)
Uwzględniamy warunki początkowe w celu wyznaczenia stałych \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}.}\)
\(\displaystyle{ x_{0}(0) = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot 0} = C_{1} + C_{2} = 0 \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ x'_{0}(t) = 3C_{2}e^{3\cdot t} }\)
\(\displaystyle{ x'_{0}(0) = v_{0} = 3C_{2}e^{3\cdot 0} = 3C_{2} = 4 }\)
\(\displaystyle{ C_{2} = \frac{4}{3}. }\)
Z równania \(\displaystyle{ (1), \ \ C_{1} = -\frac{4}{3} }\)
Rozwiązanie szczególne równania
\(\displaystyle{ x(t) = -\frac{4}{3} + \frac{4}{3}e^{3t} = \frac{4}{3}( e^{3t} - 1). }\)
Stąd równanie prędkości punktu materialnego
\(\displaystyle{ x'(t) = v(t) = 4 e^{3t} \ \ (2) }\)
Z warunków wynikających z treści zadania
\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} -1) \cdot 3 }\)
\(\displaystyle{ 9 = 4(e^{3t} - 1) }\)
\(\displaystyle{ \frac{9}{4} = e^{3t} -1 }\)
\(\displaystyle{ e^{3t} = \frac{13}{4} }\)
\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3}\ln\left( \frac{13}{4} \right).}\)
Z równania \(\displaystyle{ (2) }\)
\(\displaystyle{ v^{*} = \frac{4}{3} e^{3\cdot\frac{1}{3}\ln\left(\frac{13}{4} \right)} = \frac{4}{3}\cdot e^{\ln\left(\frac{13}{4} \right)}= \frac{4}{3}\cdot \frac{13}{4} = \frac{13}{3} \frac{m}{s} = 4\frac{1}{3} \frac{m}{s}.}\)
Edit: Poprawiłem formalizm zapisu całkowego dodając stałą całkowania.korki_fizyka pisze: ↑12 lis 2019, o 22:56 Inna metoda na poziomie studenckim czyli chyba Twoim kamael666 to scałkować wzór na przyspieszenie podstawiając warunki brzegowe (początkowe), oczywiście po rozdzieleniu zmiennych:
\(\displaystyle{ a_{x}(t) = \frac{dv_{x}}{dt} = 3x}\)
\(\displaystyle{ dv_{x} = a_{x}dt = 3xdt}\)
\(\displaystyle{ dv_{x}(t) = \int dv_{x} + C = \int\limits_{0}^{1}3x(t)dt =..}\)
Ukłony:)
- siwymech
- Użytkownik
- Posty: 2429
- Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Targ
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 608 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Szanowny Panie Januszu
Dziekuję za sprostowanie i rozwiązanie równania.
Podziwiam wiedzę i umiejętności .
Z ukłonam i wrazami szacunku
Andrzej S.
Dziekuję za sprostowanie i rozwiązanie równania.
Podziwiam wiedzę i umiejętności .
Z ukłonam i wrazami szacunku
Andrzej S.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Szanowny Panie korki fizyka
Przykro mi, ale nadal nie rozumiem Pańskiego zapisu.
Po lewej stronie powinna występować prędkość \(\displaystyle{ v_{x}(t) }\) skoro po prawej stronie występuje całka nieoznaczona z różniczki tej prędkości. Stałą \(\displaystyle{ C }\) powinien wyznaczyć Pan z wartości prędkości początkowej \(\displaystyle{ v_{0} = 4 \frac{m}{s}. }\)
Po co porównuje Pan to z całką oznaczoną w przedziale \(\displaystyle{ [0,\ \ 1]? }\)
Albo znajdujemy równania ruchu za pomocą całek nieoznaczonych i potem podstawiamy warunki początkowe w celu wyznaczenia wartości tych stałych, albo od razu uwzględniając warunki początkowe (jako dolne granice całkowania) - wykonujemy całkowanie z wykorzystaniem całek oznaczonych w przedziale \(\displaystyle{ [0,\ \ t ] }\) ale nie w przedziale \(\displaystyle{ [0, \ \ 1].}\)
Taki "zapis studencki" jest niepoprawny.
Dodano po 6 godzinach 6 minutach 20 sekundach:
Korekta
Jest
\(\displaystyle{ v^{*} = \frac{4}{3}e^{3\cdot \frac{1}{3}\ln(\left(\frac{13}{4}\right)} =...}\)
Powinno być
\(\displaystyle{ v^{*} = 4e^{3\cdot \frac{1}{3}\ln\left (\frac{13}{4}\right)} = 4e^{\ln\left(\frac{13}{4}\right)} = 4 \cdot \frac{13}{4} = 13\frac{m}{s}.}\)
Przykro mi, ale nadal nie rozumiem Pańskiego zapisu.
Po lewej stronie powinna występować prędkość \(\displaystyle{ v_{x}(t) }\) skoro po prawej stronie występuje całka nieoznaczona z różniczki tej prędkości. Stałą \(\displaystyle{ C }\) powinien wyznaczyć Pan z wartości prędkości początkowej \(\displaystyle{ v_{0} = 4 \frac{m}{s}. }\)
Po co porównuje Pan to z całką oznaczoną w przedziale \(\displaystyle{ [0,\ \ 1]? }\)
Albo znajdujemy równania ruchu za pomocą całek nieoznaczonych i potem podstawiamy warunki początkowe w celu wyznaczenia wartości tych stałych, albo od razu uwzględniając warunki początkowe (jako dolne granice całkowania) - wykonujemy całkowanie z wykorzystaniem całek oznaczonych w przedziale \(\displaystyle{ [0,\ \ t ] }\) ale nie w przedziale \(\displaystyle{ [0, \ \ 1].}\)
Taki "zapis studencki" jest niepoprawny.
Dodano po 6 godzinach 6 minutach 20 sekundach:
Korekta
Jest
\(\displaystyle{ v^{*} = \frac{4}{3}e^{3\cdot \frac{1}{3}\ln(\left(\frac{13}{4}\right)} =...}\)
Powinno być
\(\displaystyle{ v^{*} = 4e^{3\cdot \frac{1}{3}\ln\left (\frac{13}{4}\right)} = 4e^{\ln\left(\frac{13}{4}\right)} = 4 \cdot \frac{13}{4} = 13\frac{m}{s}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Jeżeli \(, x\) jest przyspieszeniem zmiennym zależnym od położenia, to wzory zastosowane w tym "rozwiązaniu" są nieprzydatne.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prędkość punktu materialnego
Z równania
\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} - 1) |\cdot 3 }\)
mnożąc je obustronnie przez \(\displaystyle{ 3 }\) wyznaczyłem \(\displaystyle{ t. }\)
\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3} \ln\left(\frac{11}{4} \right) }\)
Gdzie jest błąd? (brak kreski pionowej?). Panie Kruszewski nie przesadzajmy z doszukiwaniami się błędów.
Dodano po 51 minutach 15 sekundach:
\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3}\ln\left(\frac{13}{4}\right) }\)
\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} - 1) |\cdot 3 }\)
mnożąc je obustronnie przez \(\displaystyle{ 3 }\) wyznaczyłem \(\displaystyle{ t. }\)
\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3} \ln\left(\frac{11}{4} \right) }\)
Gdzie jest błąd? (brak kreski pionowej?). Panie Kruszewski nie przesadzajmy z doszukiwaniami się błędów.
Dodano po 51 minutach 15 sekundach:
\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3}\ln\left(\frac{13}{4}\right) }\)