Prędkość punktu materialnego

[kamael666]

Witam,
poprosiłbym o rozwiązanie zadania, bo nie wiem jak je ruszyć:

Przyspieszenie punktu materialnego dane jest wzorem \(\displaystyle{ a=3x}\) \(\displaystyle{ m/s^{2} }\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) oznacza położenie punktu. Obliczyć prędkość punktu, gdy znajduje się on w położeniu \(\displaystyle{ x=3m}\), jeżeli w chwili \(\displaystyle{ t=0}\), \(\displaystyle{ V_{0}=4}\) \(\displaystyle{ m/s}\) oraz \(\displaystyle{ x_{0}=0 }\).

Z góry dziękuję.

[janusz47]

\(\displaystyle{ v(t) = v_{0} +3x\cdot t. }\)

Czas \(\displaystyle{ t }\) wyznaczamy z równania położenia punktu:

\(\displaystyle{ x(t) = v_{0}\cdot t + 3x\cdot \frac{t^2}{2}. }\)

[kruszewski]

Analiza wymiarowa równaia
\(\displaystyle{ { x(t) = v_{0}\cdot t + 3x\cdot \frac{t^2}{2}. }}\)

\(\displaystyle{ [m] = [m/s] \cdot [s] + [m]\cdot[s^2] }\)

sugeruje jego niepoprawność

[kamael666]

Ale \(\displaystyle{ 3x}\) nie jest w \(\displaystyle{ m}\) tylko w \(\displaystyle{ m/ s^{2} }\), więc będzie się zgadzać.

[kruszewski]

Ma Pan rację. Cofam sugestię.
W.Kr.

[korki_fizyka]

Inna metoda na poziomie studenckim czyli chyba Twoim kamael666 to scałkować wzór na przyspieszenie podstawiając warunki brzegowe (początkowe), oczywiście po rozdzieleniu zmiennych:
\(\displaystyle{ a_{x}(t) = \frac{dv_{x}}{dt} = 3x}\)

\(\displaystyle{ dv_{x} = a_{x}dt = 3xdt}\)

\(\displaystyle{ dv_{x}(t) = \int dv_{x} = \int\limits_{0}^{1}3x(t)dt =..}\)

[janusz47]

korki fizyka

\(\displaystyle{ 3x }\) jest dane w treści zadania, jako przyśpieszenie zależne od położenia. Nie ma potrzeby używania "poziomu studenckiego" i sztucznego straszenia całką.

Później używa Pan różniczki prędkości \(\displaystyle{ dv_{x}(t), }\) porównując całkę nieoznaczoną z całką oznaczoną, co jest błędem.

[siwymech]

Ośmielam się.
Podnosząc stopień trudności :
Jeżeli \(\displaystyle{ a _{x} = \frac{d ^{2} x}{dt ^{2} }=\dot{v _{x} }=\ddot x, (1) }\), to mamy równanie
\(\displaystyle{ \ddot x-3x=0, (2)}\)
Rozw. równanie (2) różniczkowe drugiego rzędu o stałych zmiennych.
Znajdziemy równanie ruchu wzdłuż osi x i licząc pochodną po czasie znajdziemy prędkość( \(\displaystyle{ v _{x}= \dot x)}\).
/Punkt porusza się wzdłuż osi x.Początek ruchu, to początek przyjętej osi odciętych.Warunki początkowe podano./
...........................

[janusz47]

Co to są stałe zmienne ?

Jak stałe to nie zmienne, a jak zmienne to nie stałe.

Chyba chodziło Panu o równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu - jednorodne o stałych współczynnikach?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{''}(t) - 3x = 0 \\ x(0) = 0 \\ x'(0) = 4 \end{cases} }\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ r^2 - 3r = r( r -3)= 0 }\)

\(\displaystyle{ r_{1} = 0, \ \ r_{2} = 3.}\)

Rozwiązanie ogólne równania

\(\displaystyle{ x_{0}(t) = C_{1}e ^{0\cdot t} + C_{2}e^{3\cdot t} = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot t}. }\)

Uwzględniamy warunki początkowe w celu wyznaczenia stałych \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}.}\)

\(\displaystyle{ x_{0}(0) = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot 0} = C_{1} + C_{2} = 0 \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ x'_{0}(t) = 3C_{2}e^{3\cdot t} }\)

\(\displaystyle{ x'_{0}(0) = v_{0} = 3C_{2}e^{3\cdot 0} = 3C_{2} = 4 }\)

\(\displaystyle{ C_{2} = \frac{4}{3}. }\)

Z równania \(\displaystyle{ (1), \ \ C_{1} = -\frac{4}{3} }\)

Rozwiązanie szczególne równania

\(\displaystyle{ x(t) = -\frac{4}{3} + \frac{4}{3}e^{3t} = \frac{4}{3}( e^{3t} - 1). }\)

Stąd równanie prędkości punktu materialnego

\(\displaystyle{ x'(t) = v(t) = 4 e^{3t} \ \ (2) }\)

Z warunków wynikających z treści zadania

\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} -1) \cdot 3 }\)

\(\displaystyle{ 9 = 4(e^{3t} - 1) }\)

\(\displaystyle{ \frac{9}{4} = e^{3t} -1 }\)

\(\displaystyle{ e^{3t} = \frac{13}{4} }\)

\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3}\ln\left( \frac{13}{4} \right).}\)

Z równania \(\displaystyle{ (2) }\)

\(\displaystyle{ v^{*} = \frac{4}{3} e^{3\cdot\frac{1}{3}\ln\left(\frac{13}{4} \right)} = \frac{4}{3}\cdot e^{\ln\left(\frac{13}{4} \right)}= \frac{4}{3}\cdot \frac{13}{4} = \frac{13}{3} \frac{m}{s} = 4\frac{1}{3} \frac{m}{s}.}\)

[korki_fizyka]

korki fizyka

\(\displaystyle{ 3x }\) jest dane w treści zadania, jako przyśpieszenie zależne od położenia. Nie ma potrzeby używania "poziomu studenckiego" i sztucznego straszenia całką.

Później używa Pan różniczki prędkości \(\displaystyle{ dv_{x}(t), }\) porównując całkę nieoznaczoną z całką oznaczoną, co jest błędem.

Nie uważam żeby "straszenie całką" było sztuczne tylko wręcz niezbędne do rozpatrywania wszelkich ruchów zmiennych a tutaj właśnie z takim mamy do czynienia.

Co to są stałe zmienne ?

Jak stałe to nie zmienne, a jak zmienne to nie stałe.

Chyba chodziło Panu o równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu - jednorodne o stałych współczynnikach?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{''}(t) - 3x = 0 \\ x(0) = 0 \\ x'(0) = 4 \end{cases} }\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ r^2 - 3r = r( r -3)= 0 }\)

\(\displaystyle{ r_{1} = 0, \ \ r_{2} = 3.}\)

Rozwiązanie ogólne równania

\(\displaystyle{ x_{0}(t) = C_{1}e ^{0\cdot t} + C_{2}e^{3\cdot t} = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot t}. }\)

Uwzględniamy warunki początkowe w celu wyznaczenia stałych \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}.}\)

\(\displaystyle{ x_{0}(0) = C_{1} + C_{2}e^{3\cdot 0} = C_{1} + C_{2} = 0 \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ x'_{0}(t) = 3C_{2}e^{3\cdot t} }\)

\(\displaystyle{ x'_{0}(0) = v_{0} = 3C_{2}e^{3\cdot 0} = 3C_{2} = 4 }\)

\(\displaystyle{ C_{2} = \frac{4}{3}. }\)

Z równania \(\displaystyle{ (1), \ \ C_{1} = -\frac{4}{3} }\)

Rozwiązanie szczególne równania

\(\displaystyle{ x(t) = -\frac{4}{3} + \frac{4}{3}e^{3t} = \frac{4}{3}( e^{3t} - 1). }\)

Stąd równanie prędkości punktu materialnego

\(\displaystyle{ x'(t) = v(t) = 4 e^{3t} \ \ (2) }\)

Z warunków wynikających z treści zadania

\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} -1) \cdot 3 }\)

\(\displaystyle{ 9 = 4(e^{3t} - 1) }\)

\(\displaystyle{ \frac{9}{4} = e^{3t} -1 }\)

\(\displaystyle{ e^{3t} = \frac{13}{4} }\)

\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3}\ln\left( \frac{13}{4} \right).}\)

Z równania \(\displaystyle{ (2) }\)

\(\displaystyle{ v^{*} = \frac{4}{3} e^{3\cdot\frac{1}{3}\ln\left(\frac{13}{4} \right)} = \frac{4}{3}\cdot e^{\ln\left(\frac{13}{4} \right)}= \frac{4}{3}\cdot \frac{13}{4} = \frac{13}{3} \frac{m}{s} = 4\frac{1}{3} \frac{m}{s}.}\)

Teraz to dopiero strach się bać.

Inna metoda na poziomie studenckim czyli chyba Twoim kamael666 to scałkować wzór na przyspieszenie podstawiając warunki brzegowe (początkowe), oczywiście po rozdzieleniu zmiennych:
\(\displaystyle{ a_{x}(t) = \frac{dv_{x}}{dt} = 3x}\)

\(\displaystyle{ dv_{x} = a_{x}dt = 3xdt}\)

\(\displaystyle{ dv_{x}(t) = \int dv_{x} + C = \int\limits_{0}^{1}3x(t)dt =..}\)

Edit: Poprawiłem formalizm zapisu całkowego dodając stałą całkowania.

Ukłony:)

[siwymech]

Szanowny Panie Januszu
Dziekuję za sprostowanie i rozwiązanie równania.
Podziwiam wiedzę i umiejętności .
Z ukłonam i wrazami szacunku
Andrzej S.

[janusz47]

Szanowny Panie korki fizyka

Przykro mi, ale nadal nie rozumiem Pańskiego zapisu.

Po lewej stronie powinna występować prędkość \(\displaystyle{ v_{x}(t) }\) skoro po prawej stronie występuje całka nieoznaczona z różniczki tej prędkości. Stałą \(\displaystyle{ C }\) powinien wyznaczyć Pan z wartości prędkości początkowej \(\displaystyle{ v_{0} = 4 \frac{m}{s}. }\)

Po co porównuje Pan to z całką oznaczoną w przedziale \(\displaystyle{ [0,\ \ 1]? }\)

Albo znajdujemy równania ruchu za pomocą całek nieoznaczonych i potem podstawiamy warunki początkowe w celu wyznaczenia wartości tych stałych, albo od razu uwzględniając warunki początkowe (jako dolne granice całkowania) - wykonujemy całkowanie z wykorzystaniem całek oznaczonych w przedziale \(\displaystyle{ [0,\ \ t ] }\) ale nie w przedziale \(\displaystyle{ [0, \ \ 1].}\)

Taki "zapis studencki" jest niepoprawny.

Dodano po 6 godzinach 6 minutach 20 sekundach:
Korekta

Jest

\(\displaystyle{ v^{*} = \frac{4}{3}e^{3\cdot \frac{1}{3}\ln(\left(\frac{13}{4}\right)} =...}\)

Powinno być

\(\displaystyle{ v^{*} = 4e^{3\cdot \frac{1}{3}\ln\left (\frac{13}{4}\right)} = 4e^{\ln\left(\frac{13}{4}\right)} = 4 \cdot \frac{13}{4} = 13\frac{m}{s}.}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ v(t) = v_{0} +3x\cdot t. }\)

Czas \(\displaystyle{ t }\) wyznaczamy z równania położenia punktu:

\(\displaystyle{ x(t) = v_{0}\cdot t + 3x\cdot \frac{t^2}{2}. }\)

Jeżeli \(, x\) jest przyspieszeniem zmiennym zależnym od położenia, to wzory zastosowane w tym "rozwiązaniu" są nieprzydatne.

[kruszewski]

Z warunków wynikających z treści zadania

\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} -1) \cdot 3 }\)
Powinno być :

\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} -1)}\) ....... (3)

[janusz47]

Z równania

\(\displaystyle{ 3 = \frac{4}{3}(e^{3t} - 1) |\cdot 3 }\)

mnożąc je obustronnie przez \(\displaystyle{ 3 }\) wyznaczyłem \(\displaystyle{ t. }\)

\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3} \ln\left(\frac{11}{4} \right) }\)

Gdzie jest błąd? (brak kreski pionowej?). Panie Kruszewski nie przesadzajmy z doszukiwaniami się błędów.

Dodano po 51 minutach 15 sekundach:
\(\displaystyle{ t^{*} = \frac{1}{3}\ln\left(\frac{13}{4}\right) }\)