przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym

[Ichigo0]

Tak.

[kruszewski]

\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{\Delta t} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{v \cdot \Delta t + \frac{a \cdot (\Delta t)^2}{2} }{\Delta t} = v + \frac{a \cdot \Delta t}{2}}\)
Jeżeli przyrost czasu \(\displaystyle{ \Delta t}\) maleje do zera to stosunek
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{\Delta t}}\) zmierza do granicy :

\(\displaystyle{ \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \frac{|AB|}{\Delta t} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \left(v + \frac{a \cdot (\Delta t \rightarrow 0)}{2} \right) = v}\)

I wtedy,
\(\displaystyle{ a_N = \frac{v}{R} \cdot v = \frac{v^2}{R}}\)

Co jest oczywiste, bowiem w konkretnym, czyli określonym punkcie toru przyspieszenie dośrodkowe zależy od prędkości stycznej w tym punkcie i promienia krzywizny toru ( w tym puncie toru).

[siwymech]

A można to inaczej wytłumaczyć?

AU

89b12409c1c7ca98med.jpg (35.21 KiB) Przejrzano 221 razy

Po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ R}\) porusza sie punkt materialny ze stałą prędkością \(\displaystyle{ v}\) i zajmuje kolejne położenia.
Rozważmy dwa bliskie położenia punktu \(\displaystyle{ A , A _{1}.}\) Odmierzamy z punktów wektory prędkości, oraz znajdujemy w punkcie \(\displaystyle{ A _{1}}\) przyrost geometryczny prędkości - \(\displaystyle{ \left| BB'\right| =\Delta v}\)
Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ AOA _{1}}\) i \(\displaystyle{ A _{1}B B}\) możemy napisać proporcję:
\(\displaystyle{ OA:AA _{1}=A _{1}B':BB'}\), skąd znajdujemy
\(\displaystyle{ BB'= \frac{AA _{1} \cdot A _{1}B }{OA}}\), albo w zapisie
\(\displaystyle{ \Delta v= \frac{\Delta s \cdot v}{R}}\)
Dzieląc obie strony przez \(\displaystyle{ \Delta t}\) otrzymamy
\(\displaystyle{ \frac{\Delta v}{\Delta t}= \frac{\Delta s \cdot v}{\Delta t \cdot R}}\)
Oznaczając
\(\displaystyle{ \frac{\Delta v}{\Delta t}=a _{n}}\)- przyśpieszenie dośrodkowe- normalne,
zaś \(\displaystyle{ \frac{\Delta s}{\Delta t}=v}\)- prędkość
Ostatecznie otrzymujemy końcową postać przepisu na przyśpieszenie normalne.
\(\displaystyle{ a _{n} = \frac{v ^{2} }{R}}\)
Przyśpieszenie normalne \(\displaystyle{ a _{n}}\) jest wprost proporcjonalne do kwadratu prędkości \(\displaystyle{ v}\) punktu, a odwrotnie proporcjonalne do promienia toru \(\displaystyle{ R}\). Jest ono związane ze zmianą kierunku wektora prędkości \(\displaystyle{ v}\) na torze.
................................................................

[janusz47]

Jest wiele metod wyprowadzenia wzoru na przyśpieszenie dośrodkowe ciała w ruchu krzywoliniowym, począwszy od najstarszych, graficznych, bazujących na trójkątach podobnych, przez badanie nieskończenie małych przyrostów prędkości na łuku okręgu - w oparciu rachunek różniczkowy całkowy, a skończywszy na transformacjach prędkości i przyśpieszeń w różnych układach odniesienia.

[Ichigo0]

To rozumiem już, ale nie wiem jak to wyglada przy ruchu krzywoliniowym w którym prędkość się zmienia nie wiem jak do yego dojść w sposób podobny do wyprowadzania graficznego w ruchu krzywoliniowym jednostajnym po okręgu.

[kruszewski]

Pisze Koleżanka, że "To rozumie". To, to znaczy co?-- 16 cze 2019, o 19:31 --Ten post:
441242,15.htm#p5582769
nie dotyczy przypadku o który pyta Ichigo0

[Ichigo0]

To znaczy, że rozumiem ruch jednostajny po okręgu.

[kruszewski]

Mogę zatem napisać, że tu różnica między jednym a drugim rodzajem ruchu polega na tym, że w drugim jego przypadku drogi przebywane w tych samych odstępach czasu nie są jednakowe i zależą od czasu bieżącego tego ruchu. Zatem pytanie o przyspieszenie dośrodkowe jest związane bezpośrednio z pytaniem o wartość granicy do której dąży prędkość styczna w tym ruchu (przyspieszonym) jeżeli zmiana położenia rozpatrywanego punktu na tym okręgu jest nieskończenie mała, bowiem pytamy o przyspieszenie poruszającego się po torze punktu w konkretnym miejscu na torze ruchu, punkcie geometrycznym przynależnym do toru a nie na jego odcinku.
Zauważyć tu wypada, że wektor przyspieszenia stycznego w ruchu przyspieszonym nie ma bezpośredniego wpływu na wektor przyspieszenia dośrodkowego, co widać z wzoru w którym jest jego brak. Pośredni wpływ to prędkość styczna ruchu jako iloczyn przyspieszenia i czasu jego działania na poruszający się po torze punkt:
\(\displaystyle{ v=a \cdot t = \varepsilon \cdot \rho \cdot t = \dot\omega \cdot \rho \cdot t= \ddot \varphi \cdot
\rho \cdot t}\)

[siwymech]

Ruch krzywoliniowy zmienny.
Prędkość punktu na torze krzywoliniowym zmienia swą wartość i kierunek.
Znajdujemy całkowity geometryczny przyrost prędkości \(\displaystyle{ \Delta v=\left| B _{1} B _{2} \right|}\) - (patrz rysunek) i rozkładamy go na dwa kierunki wzdłuż prostej stycznej \(\displaystyle{ t}\) i normalnej \(\displaystyle{ n}\).
Składową styczną \(\displaystyle{ \Delta v _{t}}\) nazywamy przyrostem liniowym- stycznym predkości, składową normalną \(\displaystyle{ \Delta v _{n}}\) przyrostem normalnym prędkości.
Stosunek tych przyrostów do czasu \(\displaystyle{ \Delta t}\) nazywamy odpowiednio przyśpieszeniem liniowym- stycznym; \(\displaystyle{ a _{t}= \frac{\Delta v _{t} }{\Delta t}}\)
i przyśpieszeniem normalnym; \(\displaystyle{ a _{n}=\frac{\Delta v _{n} }{\Delta t}}\)
Przyśpieszenie całkowite będzie suma geometryczną obu przyśpieszeń.
...................................................
Przyśpieszenie styczne zmienia wielkość prędkości, normalne zmienia jej kierunek.

[kruszewski]

zmniejszanie się kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) między kierunkami wektorów prędkości \(\displaystyle{ v}\) i przyspieszenia \(\displaystyle{ a}\) w miarę malenia przyrostu czasu \(\displaystyle{ \Delta t}\) obserwowanego miarą kąta \(\displaystyle{ \varphi}\)

Ukryta treść: