Wyznaczenie czasu i prędkości

[retleh10]

Witam. Robię zadanie z dynamiki, wyznaczyłem z równań \(\displaystyle{ a=g(\sin \alpha -u\cos \alpha )}\), znaleźć muszę \(\displaystyle{ t_{k}}\)i \(\displaystyle{ v_{k}}\).
W książce są podane tylko wyniki:\(\displaystyle{ t_{k}= \sqrt{ \frac{2l}{a} }}\)oraz \(\displaystyle{ v_{k}=a t_{k}.}\)
Proszę o pomoc w wyliczeniu tego.

[Jan Kraszewski]

A nie pomyślałeś o tym, że dobrze byłoby podać treść zadania?

JK

[retleh10]

Ciało o ciężarze \(\displaystyle{ G}\) ustawiono na równi nachylonej do poziomu pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz po jakim czasie \(\displaystyle{ t_{k}}\) i z jaką prędkością ciało opuści równię, gdy jej długość wynosi \(\displaystyle{ l}\), a współczynnik tarcia \(\displaystyle{ u}\).

[Janusz Tracz]

Równanie ruchu to \(\displaystyle{ G\sin \alpha -Gu\cos \alpha -ma=0}\) co można zapisać jako:

\(\displaystyle{ a=g\sin \alpha -gu\cos \alpha}\)

całkując je dostaniesz prędkość i drogę.

\(\displaystyle{ v=\left( g\sin \alpha -gu\cos \alpha\right)t+V_0}\)

\(\displaystyle{ s= \frac{\left( g\sin \alpha -gu\cos \alpha\right)t^2}{2} +V_0t+S_0}\)

Zakładając zerowe warunki początkowe, czyli ciało kładziemy bez prędkości początkowej oraz pomiar drogi zaczynamy w miejscu położenia można zapisać wzór na drogę w lekko uproszczonej postaci:

\(\displaystyle{ s= \frac{\left( g\sin \alpha -gu\cos \alpha\right)t^2}{2}}\)

Pytanie dotyczy czasy dla którego \(\displaystyle{ s=l}\) czyli

\(\displaystyle{ l= \frac{\left( g\sin \alpha -gu\cos \alpha\right)t^2}{2} \ \Rightarrow \ t= \sqrt{ \frac{2l}{ g\sin \alpha -gu\cos \alpha} }=\sqrt{ \frac{2l}{a}}}\)

By policzyć prędkość po przebyciu drogi \(\displaystyle{ l}\) można podstawić \(\displaystyle{ t}\) dla którego to nastąpi do wzoru na prędkość otrzymując, że prędkość końcowa to

\(\displaystyle{ v=\left( g\sin \alpha -gu\cos \alpha\right)\sqrt{ \frac{2l}{ g\sin \alpha -gu\cos \alpha} }}\)

[siwymech]

Kinematyka i dynamika ruchu postępowego

AU

36cfbeebab90ca2emed.jpg (38.75 KiB) Przejrzano 137 razy

I.Ruch zmienny ciała opisują równania:
\(\displaystyle{ s=l=v _{o} \pm \frac{a \cdot t ^{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ v=v _{o} \pm a \cdot t}\)
Początkowo ciało w spoczynku, to i prędkość początkowa- \(\displaystyle{ v _{o}=0}\), stąd równania przyjmą postać
\(\displaystyle{ s=l=\frac{a \cdot t ^{2} }{2}\Rightarrow t= \sqrt{ \frac{2l}{a} }}\), (1)
\(\displaystyle{ v=a \cdot t}\), (2)

/Nieznane przyśpieszenie \(\displaystyle{ a}\) wyznaczymy z dynamicznych równań ruchu/
...........................
II. Dynamiczne równania ruchu w kierunku równi(oś x) i w kierunku prostopadłym do równi(oś y) pozwalaja określić przyśpieszenie \(\displaystyle{ a}\) ciała:
\(\displaystyle{ ma=mg \cdot \sin \alpha -T}\), (3)
\(\displaystyle{ m \cdot 0=N-mg \cdot \cos \alpha}\), (4)
/Ciało nie doznaje przyśp. w kierunku osi y/
Siła oporu-tarcia
\(\displaystyle{ T=\mu \cdot N}\), (5)

Z równań (3) , (4) i (5) otrzymujemy przepis na przyśpieszenie ciała z uwzgl. siły tarcia:
\(\displaystyle{ a=g(\sin \alpha -\mu\cos \alpha )}\)

[kruszewski]

Te równania nie opisują ruchu zmiennego a ruch jednostajnie zmienny (z definicji ze stałym przyspieszeniem) i z prędkością początkową \(\displaystyle{ v_o}\)
Chcąc zastosować te wzory do rozwiązania tego zadania należy najpierw pokazać ową stałość przypieszenia ruchu. Stąd kolejność równań winna być inna. Najpierw równanie przyspieszenia a później wg określenia jego zmiennności wzorów na prędkość i drogę.
Stąd rozwiązanie pokazane przez Janusza Tracza uważam za lepsze bo ogólniejsze.
Rysunek też wymaga poprawy, poprawy długości drogi \(\displaystyle{ l}\) oraz początkowego i końcowego położenia klocka na równi. Skrajne dolne położenie klocka nie odpowiada jego drodze wzdłuż równi.
Z należym szacunkiem,
W.Kr.
Proszę nie traktować tego listu jako złośliwości z mojej strony, ale ulepszenia odpowiedzi.