Tarcie toczne

[michal2323]

Witam! Ostatnio nurtuje mnie problem tarcia podczas ruchu bryły obrotowej np.:walca.
Sprawa jest dla mnie zrozumiała,gdy mamy do czynienia z poślizgiem - wtedy mamy do czynienia z tarciem slizgowym,które obliczamy jako T = nacisk * wspolczynnik tarcia.

Nie rozumiem do konca przypadku gdy walec stacza się np.: po rowni pochylej. Do takich zagadnien zawsze podchodziłem w taki sposób jak np.: przedstawiono tutaj:357015.htm

Rozumiem to tak,że moment powodujący obrót jest skutkiem działania siły T tarcia statycznego.

Jednak jakiś czas temu chciałem pogłębić temat i zainteresowałem się zjawiskiem tarcia tocznego.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Tarcie_toczne

Nie rozumiem dlaczego na Wikipedii oraz w innych źródłach,które przeglądałem przy wyprowadzaniu wzoru na tarcie toczne nie uwzględnia się momentu bezwładności bryły. Moje przypuszczenia są takie,że po prostu nie uwzględniono tego dla uproszczenia wyprowadzania wzoru na siłe tarcia. tocznego. Rozumiem,że siła tarcia tocznego bierze się z odkształcenia ciała np. opony. Jednak jak to się wszystko ma do 1 przypadku staczającego się walca na równi?Wydaje mi sie,ze sila tarcia statycznego dzialajacego na staczajacy sie walec to cos zupelnie innego od sily tarcia tocznego. Czy mam racje?
Z góry dziękuje za odpowiedź!

[siwymech]

Walec staczając się z równi wykonuje jednocześnie ruch postępowy i obrotowy.
Do opisu ruchu wykrzystujemy równania dynamiczne wynikajace z II zasady Newtona:
-dla ruchu postępowego- równanie ruchu środka masy(p.O)
\(\displaystyle{ F+(-ma)=0}\)
- dla ruchu obrotowego- równanie ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy(p.O)
\(\displaystyle{ M _{o}+(-J _{o} \cdot \varepsilon)=0}\)
........................................................................................
I.Staczanie się walca z równi z poślizgiem.
W punkcie \(\displaystyle{ S}\) styku walca z równią występuje poślizg. Chwilowa prędkość tego punktu jest różna od zera- \(\displaystyle{ v _{s} \neq 0}\)
Określając siłę tarcia ( tarcie całkowicie rozwinięte) korzystamy wprost z prawa tarcia kinetycznego:
\(\displaystyle{ T=\mu _{k} \cdot N}\)
1. Równania ruchu walca:
-równania ruchu środka masy w kierunku osi x:
\(\displaystyle{ m \cdot a _{o}=-T +mg \cdot \sin \alpha}\), (1)
-w kierunku osi y:
\(\displaystyle{ m \cdot 0=N-mg \cdot \cos \alpha}\), (2)
/ Nie ma ruchu w kierunku osi y/
- równanie ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy - p.O
\(\displaystyle{ T \cdot R=J _{o} \cdot \varepsilon}\), (3)
\(\displaystyle{ J _{o}= \frac{mR ^{2} }{2}}\)- masowy moment bezwładności wzgl. osi przechodzacej przez środek masy- oś prostopadła do płaszczyzny rysunku!
Ponadto wykorzystujemy równania:
- z prawa tarcia- \(\displaystyle{ T=\mu _{k} \cdot N}\), (4)
- zależność między przyśpieszeniem liniowym, a kątowym;
\(\displaystyle{ a _{o} =\varepsilon \cdot R}\), (5)
/ Mamy do dyspozycji pięc równań pozwalających określić szukane wielkości np.:
przyśpieszenie liniowe, kątowe środka masy.
..........................................................................
II.Staczanie się walca z równi bez poślizgu
Walec w danej chwili styka się z równią w punkcie \(\displaystyle{ S}\), który jest chwilowym środkiem obrotu. Prędkość tego punktu jest równa zeru- \(\displaystyle{ v _{S}=0}\). Patrz teoria ruchu płaskiego.
Z tej własności określamy prędkość i przyśpieszenie środka masy
\(\displaystyle{ v _{S}=0=v _{o}-\omega \cdot R}\)
\(\displaystyle{ v _{o}=\omega \cdot R}\), po zróżniczkowaniu wzgl. czasu mamy:
\(\displaystyle{ a _{o} =\varepsilon \cdot R}\)
W równaniach dynamicznych ruchu nie możemy korzystać wprost z prawa tarcia , bowiem, aby nie było poślizgu musi zachodzić związek:
\(\displaystyle{ T<\mu \cdot N}\).
Siła tarcia tocznego powinna być mniejsza od siły tarcia spoczynkowego.
Mówimy, że siła tarcia jest nieznana, określamy ją z równań ruchu!.
Stąd w niektórych publikacjach unika się znakowania tej siły symbolem T.
2. Równania ruchu dla tego przypadku:
-równania ruchu środka masy w kierunku osi x:
\(\displaystyle{ m \cdot a _{o}=-T +mg \cdot \sin \alpha}\), (1)
-w kierunku osi y:
\(\displaystyle{ m \cdot 0=N-mg \cdot \cos \alpha}\), (2)
- równanie ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy - p.O
\(\displaystyle{ T \cdot R=J _{o} \cdot \varepsilon}\), (3)
Ponadto mamy do dyspozycji znany związek:
\(\displaystyle{ a _{o} =\varepsilon \cdot R}\), (4)
..........................................................
III. Przypadek walca staczającego się z równi z poślizgiem.
Współczynnik tarcia ślizgowego walca o równię wynosi \(\displaystyle{ \mu}\), a współczynnik tarcia tocznego \(\displaystyle{ f.}\)
3.Równania ruchu
-równania ruchu środka masy w kierunku osi x:
\(\displaystyle{ m \cdot a _{o}=-T +mg \cdot \sin \alpha}\), (1)
-w kierunku osi y:
\(\displaystyle{ m \cdot 0=N-mg \cdot \cos \alpha}\), (2)
- równanie ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy - p.O
\(\displaystyle{ -T \cdot R+N \cdot f=J _{o} \cdot \varepsilon}\), (3)
/ Przesuniecie siły normalnej \(\displaystyle{ N}\)o ramię tarcia \(\displaystyle{ f.}\)
Dodatkowe równania:
\(\displaystyle{ T=\mu \cdot N}\), (4)
\(\displaystyle{ a _{o} =\varepsilon \cdot R}\), (5)
.................................................
To próba opisania zagadnienia, może Panu pomoże?

[michal2323]

bardzo dziekuję za pomoc! Jednak szczerze mówiąc,to 3 przypadek nadal jest dla mnie niezrozumiały
(Przypadek walca staczającego się z równi z poślizgiem)
Przede wszytskim nie rozumiem dlaczego w tytule jest staczanie się z równi z poślizgiem - wydawało mi się,że chodzi po prostu o ruch płaski walca z uwzględnieniem odkształceń stąd współczynnik tarcia tocznego \(\displaystyle{ f}\). Poza tym dla tego przypadku wyraził Pan \(\displaystyle{ T = \nu \cdot N}\). W moich próbach rozwiązania tego problemu była koncepcja,że \(\displaystyle{ T}\) wynika wprost z równań ruchu i jest to siła tarcia statycznego. Dlaczego należy akurat przyjąć,że \(\displaystyle{ T = \nu \cdot N}\)?

[siwymech]

Doprecyzuję opis :
Z równi pochyłej o kącie nachylenia \(\displaystyle{ \alpha}\) stacza się walec mający masę \(\displaystyle{ m}\) i promień podstawy \(\displaystyle{ R.}\) W trakcie staczania sie walca pod wpłwem siły ciężkości pokonywane jest tarcie ślizgowe.
Współczynnik tarcia ślizgowego walca o równię jest równy \(\displaystyle{ \mu,}\) a współczynnik tarcia tocznego( ramię tarcia) \(\displaystyle{ f.}\)

[michal2323]

Jednej rzeczy tu nie rozumiem,ponieważ w przypadku poślizgu punkt styku walca z powierzchnią równi ma prędkość różną od zera,a zatem w takim przypadku warunek \(\displaystyle{ a = \varepsilon\cdot R}\), \(\displaystyle{ \varepsilon}\)=przyspieszenie katowe byłby nieprawdziwy.Przepraszam,że zawracam Panu głowę,ale bardzo chciałbym to wszystko zrozumieć. Jest wiele zadań polegających na tym,że bryła stacza się z równi bez poślizgu i wtedy \(\displaystyle{ T}\) obliczamy z równań ruchu i jest to siła tarcia statycznego.
Jeżeli teraz uwzględnimy odkształcenie podłoża,to mi się wydaję,że mamy tak jakby 2 siły tarcia - tak jak poprzednio siłę tarcia statycznego oraz siłę oporów toczenia związaną z odkształceniem. Pierwsza siłę wyliczamy z równań ruchu,a drugą jako \(\displaystyle{ F_t = f/R \cdot N}\).
Co jest błędne w moim rozumowaniu?

[siwymech]

W przypadku tarcia bez poślizgu nie korzystamy z zależności \(\displaystyle{ T=\mu \cdot N !}\), bo byłoby to słuszne gdyby, uwzględniano poślizg walca. Stąd ta wzmianka o sposobach oznaczania siły tarcia.
Prędkość punktu \(\displaystyle{ S}\) (chwilowy środek obrotu) styku -walca - równi jest równa zeru, dlatego mówimy tu o tarciu statycznym, a siła tarcia przy pominięciu poślizgu spełnia warunek \(\displaystyle{ T<\mu \cdot N}\).
.........................................
I jeszcze profesjonalna pomoc, zadanie z olimpiady fizycznej:

file:///C:/Users/as/Documents/mech%20teoria/tarcie%20walca%20%20równi%20z%20posl,poslizgu=olimp.pdf

[michal2323]

mógłby Pan w jakiś inny sposób zamieścić to zadanie,ponieważ ścieżka,która Pan podał odnosi sie chyba do Pana prywatnego komputera i nie mogę tego otworzyć.
Co do samego walca,to jeżeli stacza się on z równi bez poślizgu to działa na niego siła tarcia statycznego oraz siła oporów toczenia?Pierwsza siłę wyliczamy z równań ruchu,a drugą jako iloczyn nacisku oraz wspólczynnika oporów toczenia wyrażonego w metrach?
Tak to rozumiem
I jeszcze jedna sprawa:dlaczego w wielu źródłach przy wyprowadzaniu wzoru na siłę tarcia tocznego nie uwzględnia się momentu bezwładności? Tak jest np.: na Wikipedii.

[siwymech]

Równanie ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy - p.O
\(\displaystyle{ T \cdot R=J _{o} \cdot \varepsilon,}\) (3)
\(\displaystyle{ J _{o} \cdot \varepsilon}\)- iloczyn ten obrazuje moment sił bezwładności(" niechęć mas do obrotu")
P.S.
W podręcznikach autorzy przyjmują " a priori", że pojęcia: poślizgu, bez poślizgu nie trzeba wyjaśniać ?
Powodzenia w analizie ruchu obrotowego
........................................
Przepraszam i ponawiam link:
... 7d45ff5159

[michal2323]

dziękuję! Bardzo mi Pan pomógł!